《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

9. 某火车站去年开始了扩建工程,其中某项工程,甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月,并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍.
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需要几个月.
(2)若甲队每月的施工费为100万元,乙队每月的施工费比甲队多50万元. 在保证工程质量的前提下,为了缩短工期,拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程,在完成这项工程中,甲队施工时间是乙队施工时间的2倍,那么,甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？(甲、乙两队的施工时间按月取整数)

答案：
(1)解：设乙队单独完成这项工程需要$x$个月，则甲队单独完成这项工程需要$(x + 5)$个月。
根据题意，得$x(x + 5)=6(x + x + 5)$
整理，得$x^{2}-7x - 30=0$
解得$x_{1}=10$，$x_{2}=-3$（不合题意，舍去）
$x + 5=10 + 5=15$
答：甲队单独完成这项工程需要15个月，乙队单独完成这项工程需要10个月。
(2)解：设乙队施工$y$个月，则甲队施工$2y$个月。
乙队每月施工费为$100 + 50=150$万元。
根据题意，得$100×2y+150y\leq1500$
整理，得$350y\leq1500$
解得$y\leq\frac{30}{7}\approx4.2857$
因为$y$为整数，所以$y$最大取4，此时甲队施工$2y = 8$个月。
答：甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元。

10. 为了倡导节能低碳的生活,某公司对集体宿舍用电作如下规定：一间宿舍一个月用电量若不超过$a\ kW·h$,则一个月的电费为20元；若超过$a\ kW·h$,则除了交20元外,超过部分每千瓦·时要交$\frac{a}{100}$元. 某宿舍3月份用电80$\ kW·h$,交电费35元；4月份用电45$\ kW·h$,交电费20元.
(1)求$a$的值；
(2)该宿舍5月份交电费为45元,那么该宿舍当月用电量为多少千瓦·时？

答案：
(1)解：由题意得，4月份用电45kW·h，交电费20元，所以$a\geq45$。3月份用电80kW·h，超过$a\ kW·h$，则可列方程：$20+(80 - a)\cdot\frac{a}{100}=35$，整理得$a^2 - 80a + 1500 = 0$，解得$a_1=30$，$a_2=50$。因为$a\geq45$，所以$a=50$。
(2)解：设5月份用电量为$x\ kW·h$，因为45元＞20元，所以$x＞50$。则$20+(x - 50)\cdot\frac{50}{100}=45$，解得$x=100$。
答：
(1)$a$的值为50；
(2)5月份用电量为100kW·h。

1. 小华和小明对一道应用题进行了探索：一架2.5 m长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上,这时B到墙底端C的距离为0.7 m,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 m,那么点B将向外移动多少米？[!img]
(1)请你将小华对思考题的解答补充完整：
解：设点B将向外移动$x$ m,即$BB_1= x$,
则$B_1C= x+0.7$,$A_1C= AC-AA_1= \sqrt{2.5^{2}-0.7^{2}}-0.4= 2$.
而$A_1B_1= 2.5$,在$Rt\triangle A_1B_1C$中,由$B_1C^{2}+A_1C^{2}= A_1B_1^{2}$,得方程$(x+0.7)^{2}+2^{2}=2.5^{2}$,解方程得$x_1=$0.8,$x_2=$-2.2. 所以点B将向外移动0.8m.
(2)解完思考题后,小明提出：①在思考题中,将“下滑0.4 m”改为“下滑0.9 m”,那么该题的答案会是0.9 m吗？为什么？②在思考题中,梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离,有可能相等吗？为什么？

答案：
(1)解：设点B将向外移动$x$ m,即$BB_1= x$,
则$B_1C= x+0.7$,$A_1C= AC-AA_1= \sqrt{2.5^{2}-0.7^{2}}-0.4= 2$.
而$A_1B_1= 2.5$,在$Rt\triangle A_1B_1C$中,由$B_1C^{2}+A_1C^{2}= A_1B_1^{2}$,得方程$(x+0.7)^{2}+2^{2}=2.5^{2}$,解方程得$x_1=0.8$,$x_2=-2.2$. 所以点B将向外移动$0.8$m.
(2)①解：不是，理由如下：
设点B将向外移动$x$ m，则$B_1C=x+0.7$，$A_1C=AC-AA_1=\sqrt{2.5^2 - 0.7^2}-0.9=1.5$
在$Rt\triangle A_1B_1C$中，$B_1C^2 + A_1C^2 = A_1B_1^2$
即$(x + 0.7)^2 + 1.5^2 = 2.5^2$
解得$x_1=1.3$，$x_2=-2.7$（舍去）
所以答案是$1.3$m，不是$0.9$m.
②解：有可能，理由如下：
设梯子顶端下滑距离与点B向外移动距离都为$x$ m，则$A_1C=AC - x=\sqrt{2.5^2 - 0.7^2}-x=2.4 - x$，$B_1C=BC + x=0.7 + x$
在$Rt\triangle A_1B_1C$中，$B_1C^2 + A_1C^2 = A_1B_1^2$
即$(x + 0.7)^2 + (2.4 - x)^2 = 2.5^2$
解得$x_1=1.7$，$x_2=0$（舍去）
所以当下滑距离与向外移动距离都为$1.7$m时相等.