《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

2. 如图,AD为△ABC外接圆的直径,AD⊥BC,垂足为点F,∠ABC的平分线交AD于点E,连接BD,CD.
(1)求证：BD= CD；
(2)请判断B,E,C三点是否在以点D为圆心,以DB长为半径的圆上,并说明理由.
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答案： 【解析】：本题可根据圆的性质、垂径定理以及角平分线的性质来证明线段相等和判断三点是否在同一个圆上。
（1）求证：$BD = CD$
因为$AD$是$\triangle ABC$外接圆的直径，且$AD\perp BC$，根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧，所以$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$。
在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，由于$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，所以$BD = CD$。
（2）判断$B$，$E$，$C$三点是否在以点$D$为圆心，以$DB$长为半径的圆上
由（1）已证得$BD = CD$，所以只需证明$DE = BD$即可。
因为$BE$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABE=\angle CBE$。
根据同弧所对的圆周角相等，可得$\angle BAD=\angle CBD$。
又因为$\angle Bed = \angle ABE + \angle BAE$，$\angle DBE=\angle CBE+\angle CBD$，且$\angle ABE=\angle CBE$，$\angle BAD=\angle CBD$，所以$\angle BED=\angle DBE$。
在$\triangle BDE$中，等角对等边，所以$DE = BD$。
因为$BD = CD$，$DE = BD$，所以$BD = DE = CD$。
根据圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点称为圆心，定长称为半径。可知$B$，$E$，$C$三点到点$D$的距离都等于$DB$，所以$B$，$E$，$C$三点在以点$D$为圆心，以$DB$长为半径的圆上。
【答案】：（1）证明：
∵$AD$为$\triangle ABC$外接圆的直径，$AD\perp BC$，
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$BD = CD$。
（2）$B$，$E$，$C$三点在以点$D$为圆心，以$DB$长为半径的圆上。
理由：
∵$BE$平分$\angle ABC$，
∴$\angle ABE=\angle CBE$。
∵$\angle BAD$与$\angle CBD$是同弧所对的圆周角，
∴$\angle BAD=\angle CBD$。
∵$\angle BED = \angle ABE + \angle BAE$，$\angle DBE=\angle CBE+\angle CBD$，
∴$\angle BED=\angle DBE$，
∴$DE = BD$。
又
∵$BD = CD$，
∴$BD = DE = CD$，
∴$B$，$E$，$C$三点在以点$D$为圆心，以$DB$长为半径的圆上。

3. 如图,⊙O为等边三角形ABC的外接圆,半径为2,点D在劣弧AB上运动(不与点A,B重合),连接DA,DB,DC.
(1)求证：DC是∠ADB的平分线.
(2)四边形ADBC的面积S是关于线段DC的长x的函数吗？如果是,求出函数解析式；如果不是,请说明理由.
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答案：
(1)证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∵∠ADC=∠ABC=60°，∠BDC=∠BAC=60°，
∴∠ADC=∠BDC，
∴DC是∠ADB的平分线.
(2)是.
延长DA至点E，使AE=DB，连接EC，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠BAC=60°，
∵四边形ADBC内接于⊙O，
∴∠CAE=∠CBD，
在△ACE和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l} AE=BD\\ ∠CAE=∠CBD\\ AC=BC\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴CE=CD，∠ACE=∠BCD，
∵∠ACB=60°，
∴∠DCE=∠ACB=60°，
∴△DCE是等边三角形，
过点C作CF⊥DE于点F，则CF=$\frac {\sqrt {3}}{2}DC=\frac {\sqrt {3}}{2}x$，
∵S四边形ADBC=S△ADC+S△BDC=S△ADC+S△AEC=S△DCE，
∴S=$\frac {1}{2}DE\cdot CF=\frac {1}{2}x\cdot \frac {\sqrt {3}}{2}x=\frac {\sqrt {3}}{4}x^{2}$.