《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

7. 每年的“双十一”购物活动,许多商家都会利用这个契机进行打折促销. 甲网店购进一件A商品的成本为50元,网上标价为80元.
(1)“双十一”购物活动当天,甲网店连续两次降价销售A商品吸引买家,问平均每次降价率为多少,才能使这件A商品的售价为51.2元？
(2)“双十一”购物活动之前,乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致,一周可售出1000件A商品. 在“双十一”购物活动前一天,乙网店将网上标价提高$a\%$,活动当天打五折进行促销,吸引了大量顾客,乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量比原来一周卖出的A商品数量增加了$2a\%$,利润达到了2万元,求乙网店在“双十一”购物活动这天打折前的网上标价.

答案：
(1) 解：设平均每次降价率为$x$，根据题意得：
$80(1 - x)^2 = 51.2$
$(1 - x)^2 = 0.64$
$1 - x = \pm 0.8$
解得$x_1 = 0.2 = 20\%$，$x_2 = 1.8$（不合题意，舍去）
答：平均每次降价率为$20\%$。
(2) 解：根据题意得：
标价提高后为$80(1 + a\%)$元，售价为$80(1 + a\%) × 0.5$元，
销量为$1000(1 + 2a\%)$件，利润为$20000$元。
列方程：$[80(1 + a\%) × 0.5 - 50] × 1000(1 + 2a\%) = 20000$
化简得：$[40(1 + 0.01a) - 50] × 1000(1 + 0.02a) = 20000$
$(0.4a - 10)(1 + 0.02a) = 20$
$0.008a^2 + 0.8a - 10 - 0.2a = 20$
$0.008a^2 + 0.6a - 30 = 0$
$a^2 + 75a - 3750 = 0$
解得$a_1 = 25$，$a_2 = -150$（不合题意，舍去）
打折前标价：$80(1 + 25\%) = 100$元
答：乙网店打折前的网上标价为$100$元。

1. 某学校准备建一个面积为375$m^2$的矩形游泳池,且游泳池的宽比长短10 m. 设游泳池的长为$x$ m,则可列方程($x(x - 10)=375$).
A.$x(x-10)= 375$
B.$x(x+10)= 375$
C.$2x(2x-10)= 375$
D.$2x(2x+10)= 375$

答案： 解：设游泳池的长为$x$ m，因为宽比长短10 m，所以宽为$(x - 10)$ m。矩形面积=长×宽，已知面积为$375 m^2$，则可列方程$x(x - 10)=375$。
答案：A

2. 在一幅长60 cm,宽40 cm的矩形书画作品的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示. 如果要使整个作品的面积是2816$cm^2$,设金色纸边的宽为$x$ cm,那么$x$满足的方程是(A).[!img]

A.$(60+2x)(40+2x)= 2816$
B.$(60+x)(40+x)= 2816$
C.$(60+2x)(40+x)= 2816$
D.$(60+x)(40+2x)= 2816$

答案： 解：镶边后矩形挂图的长为$(60 + 2x)\ cm$，宽为$(40 + 2x)\ cm$，根据面积公式可得方程$(60 + 2x)(40 + 2x) = 2816$。
答案：A

3. 某小区准备在每两幢楼房之间开辟面积为300$m^2$的一块矩形绿地,并且长比宽多10 m. 设矩形绿地的宽为$x$ m,则可列方程为$x(x + 10) = 300$.

答案： 解：设矩形绿地的宽为$x$ m，因为长比宽多$10$ m，所以长为$(x + 10)$ m。
矩形面积 = 长×宽，已知面积为$300 m^2$，则可列方程为：$x(x + 10) = 300$。
答案：$x(x + 10) = 300$

4. 一块正方形钢板上截去3 cm宽的长方形钢条,剩下的面积是54$cm^2$,则原来这块钢板的面积是81$cm^2$.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的应用。设原正方形的边长为$x$ cm，则原正方形的面积为$x^2$ $cm^2$。
截去3cm宽的长方形钢条后，剩下的部分是一个长方形，其长为原正方形的边长$x$ cm，宽为($x-3$) cm。
根据题意，这个剩下的长方形的面积是54 $cm^2$，因此我们可以得到方程：
$x(x - 3) = 54$
展开方程得：
$x^2 - 3x - 54 = 0$
这是一个一元二次方程，我们可以使用求根公式或者因式分解法来求解。
这里我们选择因式分解法，得到：
$(x - 9)(x + 6) = 0$
解得：
$x_1 = 9, x_2 = -6$
由于边长不能为负，所以$x_2 = -6$不符合题意，舍去。
因此，原正方形的边长为9cm，所以原钢板的面积为：
$9^2 = 81 (cm^2)$
【答案】：
81