《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

15. 已知∠MON= α,点A,B分别在射线OM,ON上运动,AB= 6.
(1)如图①,若α= 90°,取AB中点D,点A,B运动时,点D也随之运动,点A,B,D的对应点分别为A′,B′,D′,连接OD,OD′. 判断OD与OD′有什么数量关系？证明你的结论.
(2)如图②,若α= 60°,以AB为斜边在其右侧作等腰直角△ABC,求点O与点C的最大距离.
(3)如图③,若α= 45°,当点A,B运动到什么位置时,△AOB的面积最大？请说明理由,并求出△AOB面积的最大值.

答案：
(1) OD=OD′.
证明：
∵∠MON=90°，D为AB中点，
∴OD=1/2AB.
同理，OD′=1/2A′B′.
∵AB=A′B′=6，
∴OD=OD′=3.
(2) 取AB中点D，连接OD，CD，OC.
在Rt△AOB中，OD=1/2AB=3.
在等腰直角△ABC中，CD=√2/2AB=3√2.
∵∠MON=60°，当OD过AB中点且O，D，C共线时，OC最大.
∴OC最大值=OD+CD=3+3√2.
(3) 设OA=x，OB=y.
S△AOB=1/2xy sin45°=√2/4xy.
由余弦定理：AB²=x²+y²-2xy cos45°=36.
∵x²+y²≥2xy，
∴36+√2xy≥2xy，xy≤36/(2-√2)=18(2+√2).
当x=y时，等号成立，此时△AOB为等腰三角形.
S△AOB最大值=√2/4×18(2+√2)=9(√2+1).
答：当OA=OB时，△AOB面积最大，最大值为9(√2+1).