《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

5. 某商店购入一批产品进行销售,进价为10元/件,计划采取线上和线下两种方式进行销售. 调查发现,线下的月销售量$y件与售价x$元($10\leqslant x\leqslant22$)满足一次函数的关系,部分数据如下表：
| $x$/元 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| $y$/件 | 900 | 850 | 800 | 750 | 700 |

(1)求$y与x$的函数解析式.
(2)若线上售价保持比线下每件少2元,且线上的月销量都是700件. 当线下售价为多少时,线上与线下的月总利润最大？最大利润是多少？

答案：
(1)设$y$与$x$的函数解析式为$y=kx+b$，将$(10,900)$，$(11,850)$代入得：
$\begin{cases}10k + b = 900 \\11k + b = 850\end{cases}$
解得$k=-50$，$b=1400$，所以$y=-50x + 1400$。
(2)线下售价为$x$元，则线上售价为$(x - 2)$元，线下利润为$(x - 10)(-50x + 1400)$，线上利润为$(x - 2 - 10)×700 = 700(x - 12)$，总利润$W=(x - 10)(-50x + 1400)+700(x - 12)$，化简得$W=-50x² + 2100x - 22400$，对称轴为$x=21$，在$10\leqslant x\leqslant22$内，当$x=21$时，$W$最大，$W=-50×21² + 2100×21 - 22400=7250$，即当线下售价为21元时，最大利润是7250元。

6. 某园林企业计划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润$y与投资量x$成正比例关系,如图①所示；种植花卉的利润$y与投资量x$成二次函数关系,如图②所示(注：利润与投资量的单位都是万元).
(1)直接写出利润$y_1与y_2关于投资量x$的函数解析式.
(2)如果这家企业投入资金8万元种植花卉和树木,至少获得多少利润？能获取的最大利润是多少？

答案： 【解析】：本题主要考查了正比例函数和二次函数的应用。
（1）对于种植树木的利润$y_1$与投资量$x$的关系，由于是正比例关系，可以设$y_1 = kx$。
根据图①，当$x = 1$时，$y_1 = 2$，代入得$k = 2$，所以$y_1 = 2x$。
对于种植花卉的利润$y_2$与投资量$x$的关系，由于是二次函数关系，且图像开口向上，顶点在原点，可以设$y_2 = ax^2$。
根据图②，当$x = 2$时，$y_2 = 2$，代入得$a = \frac{1}{2}$，
所以，$y_2 = \frac{1}{2}x^2$。
（2）设投入资金种植花卉为$x$万元（$0 \leq x \leq 8$），则投入资金种植树木为$(8 - x)$万元。
利润函数为：
$y = y_1 + y_2 = 2(8 - x) + \frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 16$，
这是一个开口向上的二次函数，其最小值出现在对称轴上，对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = 2$。
将$x = 2$代入利润函数，得最小利润为：
$y = \frac{1}{2} × 2^2 - 2 × 2 + 16 = 14$，
最大利润出现在端点上，由于$x$的取值范围是$0 \leq x \leq 8$，且二次函数开口向上，所以最大值出现在$x = 8$处。
将$x = 8$代入利润函数，得最大利润为：
$y = \frac{1}{2} × 8^2 - 2 × 8 + 16 = 32 - 16 + 16 = 32$，
但考虑到实际情况，当$x = 8$时，即全部资金投入花卉，树木投资为0，此时树木利润为0，花卉利润为$\frac{1}{2} × 8^2 = 32$，与上述计算一致。
【答案】：
(1)$y_1 = 2x$，$y_2 = \frac{1}{2}x^2$；
(2)最小利润为14万元，最大利润为32万元。