《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

6. 若 $ A(-4,y_1) $,$ B(-2,y_2) $,$ C(1,y_3) $ 为二次函数 $ y= 3(x+1)^2 $ 的图象上的三点,则 $ y_1 $,$ y_2 $,$ y_3 $ 的大小关系是(C)
A.$ y_1＜y_2＜y_3 $
B.$ y_2＜y_1＜y_3 $
C.$ y_2＜y_3＜y_1 $
D.$ y_1＜y_3＜y_2 $

答案： 解：二次函数$y = 3(x + 1)^2$的对称轴为直线$x=-1$，且$a=3＞0$，抛物线开口向上，当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而增大。
点$A(-4,y_1)$到对称轴$x=-1$的距离为$\vert-4 - (-1)\vert=3$；
点$B(-2,y_2)$到对称轴$x=-1$的距离为$\vert-2 - (-1)\vert=1$；
点$C(1,y_3)$到对称轴$x=-1$的距离为$\vert1 - (-1)\vert=2$。
因为抛物线开口向上，距离对称轴越近，函数值越小，所以$y_2＜y_3＜y_1$。
答案：C

7. (1)在同一坐标系中画出下列函数的图象：

$ y= -x^2 $；
$ y= -(x+2)^2 $；
$ y= -(x-2)^2 $.
| x | ... | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ... |
| $ y= -x^2 $ | ... | | | | | | | | | | ... |

| $ y= -(x+2)^2 $ | ... | | | | | | | | | | ... |
| $ y= -(x-2)^2 $ | ... | | | | | | | | | | ... |

(2)写出抛物线 $ y= a(x-h)^2 $ 与 $ y= ax^2 $ 的关系.

答案：
【解析】：
本题考查二次函数图象的绘制以及二次函数顶点式的性质。
（1）首先，对于函数$y = -x^2$：
当$x = -4, y = -(-4)^2 = -16$；
当$x = -3, y = -(-3)^2 = -9$；
当$x = -2, y = -(-2)^2 = -4$；
当$x = -1, y = -(-1)^2 = -1$；
当$x = 0, y = -(0)^2 = 0$；
当$x = 1, y = -(1)^2 = -1$；
当$x = 2, y = -(2)^2 = -4$；
当$x = 3, y = -(3)^2 = -9$；
当$x = 4, y = -(4)^2 = -16$。
接着，对于函数$y = -(x+2)^2$：
当$x = -4, y = -(-4+2)^2 = -4$；
当$x = -3, y = -(-3+2)^2 = -1$；
当$x = -2, y = -(0)^2 = 0$；
当$x = -1, y = -(-1+2)^2 = -1$；
当$x = 0, y = -(0+2)^2 = -4$；
当$x = 1, y = -(1+2)^2 = -9$；
当$x = 2, y = -(2+2)^2 = -16$；
当$x = 3, y = -(3+2)^2 = -25$；
当$x = 4, y = -(4+2)^2 = -36$。
最后，对于函数$y = -(x-2)^2$：
当$x = -4, y = -(-4-2)^2 = -36$；
当$x = -3, y = -(-3-2)^2 = -25$；
当$x = -2, y = -(-2-2)^2 = -16$；
当$x = -1, y = -(-1-2)^2 = -9$；
当$x = 0, y = -(0-2)^2 = -4$；
当$x = 1, y = -(1-2)^2 = -1$；
当$x = 2, y = -(2-2)^2 = 0$；
当$x = 3, y = -(3-2)^2 = -1$；
当$x = 4, y = -(4-2)^2 = -4$。
根据这些点，可以在同一坐标系中画出这三个函数的图象。图略。
（2）抛物线$y = a(x-h)^2$与$y = ax^2$的关系可以通过比较它们的表达式来得出。
两个函数都是二次函数，且二次项系数都为$a$。
$y = ax^2$是基本的二次函数形式，其顶点在原点。
$y = a(x-h)^2$是通过将$y = ax^2$沿$x$轴平移$h$个单位得到的。
如果$h ＞ 0$，则图象向右平移$h$个单位；
如果$h ＜ 0$，则图象向左平移$|h|$个单位。
因此，抛物线$y = a(x-h)^2$与$y = ax^2$的形状相同，但位置不同，它们之间是通过沿$x$轴平移$h$个单位相互得到的。
【答案】：
（1）图略；
（2）抛物线$y = a(x-h)^2$与$y = ax^2$的形状相同，但位置不同，它们之间是通过沿$x$轴平移$h$个单位相互得到的。

1. 抛物线 $ y= 5(x+3)^2-4 $ 的对称轴是$x=-3$,顶点坐标是$(-3,-4)$.

答案： 【解析】：
对于抛物线 $y = a(x - h)^{2} + k$，其对称轴是 $x = h$，顶点坐标是 $(h, k)$。
在本题中，给定的抛物线方程是 $y = 5(x + 3)^{2} - 4$，可以看作是 $y = a(x - h)^{2} + k$ 的形式，其中 $a = 5$，$h = -3$，$k = -4$。
根据二次函数的性质，对称轴是 $x = -3$，顶点坐标是 $(-3, -4)$。
【答案】：
对称轴是 $x = -3$，顶点坐标是 $(-3, -4)$。

2. 二次函数 $ y= -4(x+2)^2+5 $,当x=-2时,y有最大值是5；当x＜ -2时,y随x的增大而增大.

答案： 【解析】：
对于二次函数$y = a(x - h)^{2} + k$，
当$a \gt 0$时，抛物线开口向上，函数在$x = h$处取得最小值$k$，
当$a \lt 0$时，抛物线开口向下，函数在$x = h$处取得最大值$k$，
同时，根据二次函数的性质，当抛物线开口向下（$a \lt 0$）时，
在对称轴$x = h$左侧（即$x \lt h$），函数值$y$随$x$的增大而增大，
在对称轴$x = h$右侧（即$x \gt h$），函数值$y$随$x$的增大而减小。
在二次函数$y = - 4(x + 2)^{2} + 5$中，$a=-4$，$h = - 2$，$k = 5$，
因为$a=-4\lt0$，所以抛物线开口向下，那么当$x = - 2$时，$y$有最大值，最大值为$5$。
又因为抛物线开口向下，对称轴为$x = - 2$，所以当$x \lt - 2$时，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】：
$- 2$；$5$；$ \lt - 2$

3. 将抛物线 $ y= -4x^2 $ 先向右平移2个单位,再向下平移1个单位,得到的抛物线的解析式为$ y = -4(x - 2)^2 - 1 $.

答案： 解：抛物线平移规律为“左加右减，上加下减”。
将抛物线 $ y = -4x^2 $ 向右平移2个单位，得 $ y = -4(x - 2)^2 $；
再向下平移1个单位，得 $ y = -4(x - 2)^2 - 1 $。
故答案为 $ y = -4(x - 2)^2 - 1 $。

4. 已知抛物线 $ y= a(x-4)^2-3 $ 与x轴的一个交点坐标为(1,0),则抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(7,0).
A.(5,0)
B.(6,0)
C.(7,0)
D.(8,0)

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数$y=a(x-h)^2+k$的图象和性质，特别是对称轴和与x轴交点的关系。
首先，由二次函数的性质，抛物线$y=a(x-h)^2+k$的对称轴是直线$x=h$。
对于给定的抛物线$y=a(x-4)^2-3$，其对称轴是直线$x=4$。
已知抛物线与x轴的一个交点坐标为(1,0)，由于抛物线关于对称轴对称，因此另一个交点与(1,0)关于对称轴$x=4$对称。
设另一个交点的横坐标为$x_2$，则由对称性有：
$\frac{1+x_2}{2} = 4$，
解这个方程，得到$x_2 = 7$。
因此，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(7,0)。
【答案】：C.(7,0)。