《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

5. 解下列方程：
(1)$x^2-2x= 15$；
(2)$(x-3)^2+2x(x-3)= 0$；
(3)$4x^2-4x+1= 0$；
(4)$(y-1)^2+2y(1-y)= 0$.

答案：
(1)解：$x^2 - 2x - 15 = 0$
$(x - 5)(x + 3) = 0$
$x - 5 = 0$或$x + 3 = 0$
$x_1 = 5$，$x_2 = -3$
(2)解：$(x - 3)(x - 3 + 2x) = 0$
$(x - 3)(3x - 3) = 0$
$x - 3 = 0$或$3x - 3 = 0$
$x_1 = 3$，$x_2 = 1$
(3)解：$(2x - 1)^2 = 0$
$2x - 1 = 0$
$x_1 = x_2 = \frac{1}{2}$
(4)解：$(y - 1)^2 - 2y(y - 1) = 0$
$(y - 1)(y - 1 - 2y) = 0$
$(y - 1)(-y - 1) = 0$
$y - 1 = 0$或$-y - 1 = 0$
$y_1 = 1$，$y_2 = -1$

6. 若$x满足条件\begin{cases} x+1＜3x-3, \\ \frac{1}{2}(x-4)＜\frac{1}{3}(x-4) \end{cases} 求出方程x^2-2x-3= 0$的根.

答案： 【解析】：
本题主要考查了一元一次不等式组的解法以及一元二次方程的因式分解法。
首先，我们需要解不等式组
$\begin{cases}x + 1 \lt 3x - 3, \\frac{1}{2}(x - 4) \lt \frac{1}{3}(x - 4)\end{cases}$
对于第一个不等式，移项得：
$2x \gt 4$，
即：
$x \gt 2$，
对于第二个不等式，两边同时乘以6（最小公倍数）消去分数得：
$3(x - 4) \lt 2(x - 4)$，
移项并化简得：
$x \lt 4$，
综合两个不等式的解，我们得到不等式组的解集为：
$2 \lt x \lt 4$，
接下来，我们解方程$x^2 - 2x - 3 = 0$。
这是一个一元二次方程，可以通过因式分解法求解。
因式分解得：
$(x - 3)(x + 1) = 0$，
由此，我们可以得到方程的两个
$x_1 = 3, \quad x_2 = -1$，
最后，我们需要从这两个解中选择出满足不等式组解集的解。
显然，只有$x = 3$满足条件$2 \lt x \lt 4$。
【答案】：
$x = 3$。

1. 若 $x_1$,$x_2$ 是方程 $x^2 - 4 = 0$ 的两根,则 $x_1 + x_2$ 的值是(D).
A.$-2$
B.$4$
C.$2$
D.$0$

答案： 【解析】：
本题考查一元二次方程的根与系数的关系。对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其两根 $x_1$ 和 $x_2$ 的和是 $-\frac{b}{a}$。
在本题中，方程是 $x^2 - 4 = 0$，可以重写为 $x^2 + 0x - 4 = 0$，从而 $a = 1, b = 0, c = -4$。
根据一元二次方程的根与系数的关系，有 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{0}{1} = 0$。
【答案】：
D. $0$

2. 已知 $x_1$,$x_2$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2 + ax - 2b = 0$ 的两实数根,且 $x_1 + x_2 = -2$,$x_1 \cdot x_2 = 1$,则 $b^a$ 的值是(A).
A.$\frac{1}{4}$
B.$-\frac{1}{4}$
C.$4$
D.$-1$

答案： 解：
∵$x_1$，$x_2$是关于$x$的方程$x^2 + ax - 2b = 0$的两实数根，
∴由根与系数的关系得：$x_1 + x_2 = -a$，$x_1 \cdot x_2 = -2b$。
∵$x_1 + x_2 = -2$，$x_1 \cdot x_2 = 1$，
∴$-a = -2$，$-2b = 1$。
解得$a = 2$，$b = -\frac{1}{2}$。
∴$b^a = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$。
答案：A

3. 一元二次方程 $x^2 - 3x + 2 = 0$ 的两根分别为 $x_1$,$x_2$,则下列结论错误的是(D).
A.$x_1 + x_2 = 3$
B.$x_1x_2 = 2$
C.$(x_1 - x_2)^2 = 1$
D.$x_1^2 + x_2^2 = 6$

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根与系数的关系。
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其两根 $x_1$ 和 $x_2$ 满足：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，
$x_1x_2 = \frac{c}{a}$，
对于给定的方程 $x^2 - 3x + 2 = 0$，其中 $a = 1, b = -3, c = 2$。
根据根与系数的关系，可以得到：
$x_1 + x_2 = 3$，
$x_1x_2 = 2$，
接下来，验证选项C和D：
对于选项C，$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 3^2 - 4 × 2 = 1$，这是正确的，但我们需要找出错误的选项，所以继续验证D。
对于选项D，$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 3^2 - 2 × 2 = 5$，与选项D中的 $x_1^2 + x_2^2 = 6$ 不符。
【答案】：
D。

4. 方程$ x^2 - 2x - 1 = 0 的两个实数根分别为 x_1,$$x_2,则 (x_1 - 1)(x_2 - 1) = -2.$

答案： 解：对于方程$x^2 - 2x - 1 = 0$，根据一元二次方程根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = 2$，$x_1x_2 = -1$。
$(x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1x_2 - x_1 - x_2 + 1 = x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1$
将$x_1 + x_2 = 2$，$x_1x_2 = -1$代入上式，得：
$-1 - 2 + 1 = -2$
故答案为$-2$。

5. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - (a + 2)x + 2a = 0$ 的两个实数根分别是 $3$ 和 $b$,则 $a + b = $5.

答案： 解：因为一元二次方程 $x^2 - (a + 2)x + 2a = 0$ 的两个实数根分别是 $3$ 和 $b$，
根据根与系数的关系，得：
$3 + b = a + 2$，$3b = 2a$。
由 $3 + b = a + 2$ 可得 $a = b + 1$，
将 $a = b + 1$ 代入 $3b = 2a$，得 $3b = 2(b + 1)$，
解得 $b = 2$，则 $a = 2 + 1 = 3$，
所以 $a + b = 3 + 2 = 5$。
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