《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

1. 如图,已知⊙O的半径为13,弦AB长为24,则点O到AB的距离是(5).

A.6
B.5
C.4
D.3

答案： 【解析】：本题可根据垂径定理和勾股定理来求解点$O$到$AB$的距离。
步骤一：作辅助线
过点$O$作$OC\perp AB$于点$C$，此时$OC$的长度就是点$O$到$AB$的距离。
步骤二：利用垂径定理求出$AC$的长度
垂径定理是指垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
因为$OC\perp AB$，$AB$是弦，所以$AC = \frac{1}{2}AB$。
已知$AB = 24$，则$AC=\frac{1}{2}×24 = 12$。
步骤三：在$Rt\triangle AOC$中，利用勾股定理求出$OC$的长度
勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
在$Rt\triangle AOC$中，$OA$是圆$O$的半径，已知圆$O$的半径为$13$，所以$OA = 13$，$AC = 12$，设$OC$为$x$，根据勾股定理可得$OA^{2}=AC^{2}+OC^{2}$，即$13^{2}=12^{2}+x^{2}$。
求解上述方程：
$\begin{aligned}13^{2}&=12^{2}+x^{2}\\169&=144 + x^{2}\\x^{2}&=169 - 144\\x^{2}&=25\\x&=\pm5\end{aligned}$
因为$OC$为线段长度，是正数，所以$x = 5$，即$OC = 5$，也就是点$O$到$AB$的距离是$5$。
【答案】：B。

2. 如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC= 70°,则∠ADC的度数是(110°).

A.70°
B.110°
C.130°
D.140°

答案： 【解析】：本题可根据圆内接四边形的性质来求解$\angle ADC$的度数。
圆内接四边形的性质为：圆内接四边形的对角互补，即圆内接四边形的任意一组对角之和为$180^{\circ}$。
在四边形$ABCD$中，$\angle ABC$与$\angle ADC$是一组对角，已知$\angle ABC = 70^{\circ}$，根据上述性质可得$\angle ABC+\angle ADC = 180^{\circ}$，则$\angle ADC=180^{\circ}-\angle ABC$。
将$\angle ABC = 70^{\circ}$代入上式，可求出$\angle ADC$的度数。
【答案】：解：$\because$四边形$ABCD$内接于$\odot O$，
$\therefore\angle ABC+\angle ADC = 180^{\circ}$（圆内接四边形的对角互补）。
$\because\angle ABC = 70^{\circ}$，
$\therefore\angle ADC=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}$。
故选B。

3. 如图,⊙O的半径是1,A,B,C是圆周上的三点,∠BAC= 36°,则劣弧BC的长是($\frac{2}{5}\pi$).

A.$\frac{\pi}{5}$
B.$\frac{2}{5}\pi$
C.$\frac{3}{5}\pi$
D.$\frac{4}{5}\pi$

答案： 解：连接OB，OC。
∵∠BAC=36°，
∴∠BOC=2∠BAC=72°（同弧所对的圆心角是圆周角的两倍）。
∵⊙O的半径r=1，
∴劣弧BC的长为：$\frac{n\pi r}{180}=\frac{72\pi×1}{180}=\frac{2}{5}\pi$。
答案：B

4. 平面内,⊙O的半径为1,点P到O的距离为2,过点P可作⊙O的切线条数为(2).
A.0条
B.1条
C.2条
D.无数条

答案： 【解析】：
本题主要考察的是点和圆的位置关系以及切线的性质。
首先，需要明确点和圆的位置关系。点到圆心的距离（$d$）与圆的半径（$r$）之间的比较，可以确定点的位置：
如果$d ＜ r$，则点在圆内；
如果$d = r$，则点在圆上；
如果$d ＞ r$，则点在圆外。
在本题中，已知⊙O的半径$r$为1，点P到圆心O的距离$d$为2，因此有$d ＞ r$，即点P在⊙O外。
接着，需要理解切线的性质。对于一个在圆外的点，可以作两条切线到圆，因为从圆外一点可以引两条切线到圆，且这两条切线长度相等。
所以，过点P可作⊙O的切线条数为2条。
【答案】：
C. 2条。

5. 如图,AB是⊙O的直径,AB= 6,AB⊥弦CD,垂足为G,EF切⊙O于点B,∠A= 30°,连接AD,OC,BC. 下列结论不正确的是(D).

A.EF//CD
B.△COB是等边三角形
C.CG= DG
D.$\overset{\frown}{BC}的长为\frac{3}{2}\pi$

答案： 【解析】：
首先，我们逐一分析每个选项：
A. $EF// CD$
由于$AB\perp$弦$CD$，且$EF$切$\odot O$于点B，根据圆的性质，切线与半径垂直，所以$EF\perp AB$。
由于$AB\perp CD$且$EF\perp AB$，根据平行线的性质，我们可以得出$EF// CD$。
所以，选项A是正确的。
B. $\triangle COB$是等边三角形
连接$OC$和$OB$，由于$OC=OB$（都是半径），且$\angle A=30^\circ$，根据圆周角定理，$\angle BOC=2\angle A=60^\circ$。
在$\triangle COB$中，$OC=OB$且$\angle BOC=60^\circ$，所以$\triangle COB$是等边三角形。
所以，选项B是正确的。
C. $CG=DG$
由于$AB\perp$弦$CD$，且$AB$是$\odot O$的直径，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，所以$CG=DG$。
所以，选项C是正确的。
D. $\overset{\frown}{BC}$的长为$\frac{3}{2}\pi$
已知$\angle BOC=60^\circ$，半径$r=3$（因为$AB=6$，所以半径$r=\frac{AB}{2}=3$）。
根据弧长公式，弧长$l=\frac{n\pi r}{180}$，其中$n$是圆心角，$r$是半径。
所以，$\overset{\frown}{BC}$的长为$\frac{60\pi×3}{180}=\pi$，与选项D中的$\frac{3}{2}\pi$不符。
所以，选项D是错误的。
【答案】：D。