《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

9. 如图,$AB$,$BC$,$CD分别与\odot O相切于E$,$F$,$G$,且$AB// CD$,$BO= 6\ cm$,$CO= 8\ cm$.
(1)求证：$BO\perp CO$；
(2)求$BE和CG$的长.
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答案： 【解析】：
（1）证明：
由切线长定理可知$BE = BF$，$CF = CG$，
$\angle OBF = \angle OBE$，$\angle OCF = \angle OCG$。
因为$AB// CD$，两直线平行，内错角相等，
所以$\angle ABC + \angle BCD = 180^{\circ}$，
故$2\angle OBF + 2\angle OCF = 180^{\circ}$，
即$\angle OBF + \angle OCF = 90^{\circ}$，
所以$\angle BOC = 180^{\circ} - (\angle OBF + \angle OCF) = 90^{\circ}$，
即$BO\perp CO$。
（2）根据切线长定理可得$BE = BF$，$CF = CG$。
在$Rt \bigtriangleup BOC$中，$OB = 6\mathrm{cm}$，$OC = 8\mathrm{cm}$，
根据勾股定理$BC = \sqrt{OB^{2} + OC^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10(\mathrm{cm})$。
设$BE = BF = x\mathrm{cm}$，$CF = CG = y\mathrm{cm}$，
则$BC = BE + CF = x + y = 10$。
又因为$OB = 6\mathrm{cm}$，$OC = 8\mathrm{cm}$，
根据切线长定理和勾股定理列出方程组：
$\begin{cases}x + y = 10, \\6^{2} - x^{2} = 8^{2} - y^{2}.\end{cases}$
由$6^{2} - x^{2} = 8^{2} - y^{2}$可得：
$y^{2} - x^{2} = 8^{2} - 6^{2}$，
$(y + x)(y - x) = 28$。
把$x + y = 10$代入$(y + x)(y - x) = 28$，
得$10(y - x) = 28$，
$y - x = 2.8$。
联立方程组$\begin{cases}x + y = 10, \\y - x = 2.8.\end{cases}$
两式相加得$2y = 12.8$，
$y = 6.4$。
把$y = 6.4$代入$x + y = 10$，
得$x = 3.6$。
所以$BE = 3.6\mathrm{cm}$，$CG = 6.4\mathrm{cm}$。
【答案】：
(1)证明过程如上述所示；
(2)$BE = 3.6\mathrm{cm}$，$CG = 6.4\mathrm{cm}$。

10. 已知直线$l与\odot O$,$AB是\odot O$的直径,$AD\perp l于点D$.
(1)如图①,当直线$l与\odot O相切于点C$时,若$\angle DAC= 30^\circ$,求$\angle BAC$的大小；
(2)如图②,当直线$l与\odot O相交于点E$,$F$时,若$\angle DAE= 18^\circ$,求$\angle BAF$的大小.
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答案：
(1)解：连接OC。
∵直线l与⊙O相切于点C，
∴OC⊥l。
∵AD⊥l，
∴AD//OC，
∴∠OCA=∠DAC=30°。
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA=30°。
(2)解：连接BF。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF+∠ABF=90°。
∵AD⊥l，
∴∠DAE+∠AED=90°。
∵∠AED=∠ABF（同弧所对的圆周角相等），
∴∠BAF=∠DAE=18°。