《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

8. 二次函数 $ y= x^2 $ 的图象如图所示.

(1)请将此图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位,画出经过两次平移后所得到的图象,并写出函数的解析式；
(2)将此图象沿着 $ y= -x+1 $ 方向平移3个单位后,直接写出平移后的函数解析式.

答案：

(1) 解：平移后函数解析式为 $ y=(x-1)^2 - 2 $。
(2) $ y=(x+\frac{3\sqrt{2}}{2})^2 + \frac{3\sqrt{2}}{2} + 1 $

1. 将二次函数$y= -x^2-2x+1$化成$y= a(x-h)^2+k$的形式是$y=-(x+1)^2+2$。

答案： 【解析】：
本题要求将给定的二次函数 $y = -x^2 - 2x + 1$ 化为顶点式 $y = a(x - h)^2 + k$ 的形式。
这需要我们完成平方的完成，即通过配方的方法，将原函数转化为顶点式。
具体步骤包括：
1. 提取二次项和一次项，尝试配方。
2. 将常数项移到等式的另一边。
3. 在等式两边加上并减去一次项系数的一半的平方，以完成平方。
4. 整理得到顶点式。
【答案】：
原函数为 $y = -x^2 - 2x + 1$。
首先，提取二次项和一次项，得：
$y = - (x^2 + 2x) + 1$，
为了完成平方，我们在括号内加上并减去1（因为 $1^2 = 1$，一次项系数的一半是1）：
$y = - (x^2 + 2x + 1 - 1) + 1$，
这样，我们可以将前三项写为一个完全平方的形式：
$y = - (x + 1)^2 + 2$，
所以，答案是 $y = - (x + 1)^2 + 2$。

2. 抛物线$y= ax^2+bx+c的顶点是A(2,1)$,且经过点$B(1,0)$,则抛物线的函数解析式为$y = -x^2 + 4x - 3$。

答案： 解：
∵抛物线顶点是A(2,1)，
∴设抛物线解析式为$y=a(x - 2)^2 + 1$。
∵抛物线经过点B(1,0)，
∴$0 = a(1 - 2)^2 + 1$，
即$0 = a + 1$，解得$a = -1$。
∴抛物线解析式为$y = -(x - 2)^2 + 1$，
展开得$y = -x^2 + 4x - 4 + 1 = -x^2 + 4x - 3$。
故答案为：$y = -x^2 + 4x - 3$。

3. 二次函数$y= x^2-4x+3$,当$x= $2时,$y$有最小值是-1；当$x$＜2时,$y随x$的增大而减小。

答案： 【解析】：
对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$。
在本题中，$a = 1, b = -4$，所以对称轴为$x = \frac{4}{2 × 1} = 2$。
因为$a ＞ 0$，所以二次函数的开口方向是向上的，这意味着函数在对称轴上取得最小值。
将$x = 2$代入原函数，得到$y = 2^2 - 4 × 2 + 3 = -1$，所以最小值为-1。
又因为二次函数开口向上，所以在对称轴左侧，即$x ＜ 2$时，函数值$y$随$x$的增大而减小。
【答案】：
$x = 2$；最小值是$-1$；当$x ＜ 2$时，$y$随$x$的增大而减小。

4. 一个二次函数$y= ax^2+bx+c的顶点在y$轴正半轴上,且其对称轴左侧的部分是上升的,那么这个二次函数的解析式可以是$y=-x^2+1$（答案不唯一）。(写出一个满足条件的解析式即可)

答案： 【解析】：
首先，根据题目条件，二次函数的顶点在$y$轴正半轴上，这意味着顶点的$x$坐标为0，且$y$坐标大于0。
其次，题目还指出对称轴左侧的部分是上升的，这告诉我们二次函数的开口方向是向下的（因为如果开口向上，则对称轴左侧的部分会是下降的）。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，其顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},c-\frac{b^2}{4a})$。
由于顶点在$y$轴上，所以$b=0$（因为顶点的$x$坐标是$-\frac{b}{2a}$，当$b=0$时，$x$坐标为0）。
此时，二次函数简化为$y=ax^2+c$，并且由于顶点在$y$轴正半轴上，所以$c＞0$。
又因为函数开口向下，所以$a＜0$。
综合以上信息，可以写出一个满足条件的二次函数解析式，例如：$y=-x^2+1$（这里$a=-1,b=0,c=1$，满足$a＜0$和$c＞0$的条件）。
【答案】：
$y=-x^2+1$（答案不唯一）

5. 抛物线$y= x^2-4x$的对称轴是直线(C)。
A.$x= -2$
B.$x= 4$
C.$x= 2$
D.$x= -4$

答案： 解：对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其对称轴公式为$x = -\frac{b}{2a}$。
在抛物线$y = x^2 - 4x$中，$a = 1$，$b = -4$。
将$a$、$b$的值代入对称轴公式，可得$x = -\frac{-4}{2×1} = 2$。
故该抛物线的对称轴是直线$x = 2$。
答案：C

6. 抛物线$y= x^2-2ax+a^2+a+1$的顶点在第二象限,则常数$a$的取值范围是(A)。
A.$-1＜a＜0$
B.$a＞1$
C.$-1＜a＜2$
D.$a＜-1或a＞2$

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数的顶点坐标以及各象限内点的坐标特征。
首先，给定的抛物线方程为 $y = x^2 - 2ax + a^2 + a + 1$。
这是一个开口向上的抛物线，因为二次项系数 $a = 1 ＞ 0$。
二次函数的顶点坐标可以通过公式 $(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a})$ 计算，
在本题中，$a = 1, b = -2a, c = a^2 + a + 1$。
将 $a, b, c$ 的值代入顶点坐标公式，得到顶点坐标为 $(a, a + 1)$。
因为顶点在第二象限，根据第二象限内点的坐标特征：横坐标小于0，纵坐标大于0。
所以 $a ＜ 0$ 且 $a + 1 ＞ 0$。
解这个不等式组，得到 $-1 ＜ a ＜ 0$。
【答案】：
A. $-1＜a＜0$