《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

7. 某校田径运动场的示意图如图所示,其中$AB和CD$为直线跑道,两端为半圆形跑道.
(1)如果田径运动场的总长为400 m,其中$AB= CD= 100\ m$,试计算矩形$ABCD$内部操场的面积.
(2)如果田径运动场的总长为300 m,要使矩形$ABCD$内部操场的面积最大,直线跑道应设计为多长？操场的最大面积是多少？

答案：
(1)解：设半圆形跑道的半径为$r$ m，田径运动场的总长为两个直线跑道长加两个半圆形跑道长（即一个圆的周长），则$2×100 + 2\pi r=400$，解得$r = \frac{100}{\pi}$。矩形$ABCD$的宽为$2r=\frac{200}{\pi}$，长为$100$ m，面积为$100×\frac{200}{\pi}=\frac{20000}{\pi}$ $m^2$。
(2)解：设直线跑道长为$x$ m，半圆形跑道半径为$R$ m，总长$2x + 2\pi R=300$，则$R=\frac{300 - 2x}{2\pi}=\frac{150 - x}{\pi}$。矩形面积$S = x×2R=\frac{2x(150 - x)}{\pi}=-\frac{2}{\pi}x^2+\frac{300}{\pi}x$。当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{\frac{300}{\pi}}{2×(-\frac{2}{\pi})}=75$时，$S$最大，最大面积为$-\frac{2}{\pi}×75^2+\frac{300}{\pi}×75=\frac{11250}{\pi}$ $m^2$。直线跑道设计为$75$ m，最大面积为$\frac{11250}{\pi}$ $m^2$。

8. 某同学推铅球,铅球行进高度$y$(单位：m)与水平距离$x$(单位：m)之间的关系是$y= -\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$,铅球运行路线如图.
(1)求铅球推出的水平距离；
(2)通过计算说明铅球行进高度能否达到4 m.

答案： 【解析】：
(1)要求铅球推出的水平距离，即求当铅球落地时（即$y=0$）对应的$x$的值。将$y=0$代入给定的二次函数$y= -\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$，得到一个关于$x$的一元二次方程。解这个方程，并取符合实际情况的正数解，即为铅球推出的水平距离。
(2)要判断铅球行进高度能否达到4m，即判断二次函数$y= -\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$是否能取到值4。这可以通过计算二次函数的最大值来判断。如果最大值大于或等于4，则铅球行进高度能达到4m；否则，不能达到。
【答案】：
(1)解：当$y=0$时，即$-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}=0$，
解得$x_1=10$，$x_2=-2$（因为$x$代表水平距离，所以负值不符合实际情况，舍去）。
所以，铅球推出的水平距离是10m。
(2)解：二次函数$y= -\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$可以化简为$y= -\frac{1}{12}(x-4)^2+3$。
由于二次项系数为负，所以函数开口向下，其最大值出现在顶点处，即$x=4$时，此时$y=3$。
因为3＜4，所以铅球行进高度不能达到4m。

9. 如图,四边形$ABCD$是矩形,$A$,$B两点在x$轴的正半轴上,$C$,$D两点在抛物线y= -x^2+6x$上,设$OA= m(0＜m＜3)$,矩形$ABCD的周长为l$.
(1)求$l关于m$的函数解析式；
(2)求$l$的最大值.

答案：
(1)解：因为抛物线$y = -x^2 + 6x$，当$x = m$时，$y = -m^2 + 6m$，所以$AD = -m^2 + 6m$。
令$y = -m^2 + 6m$，则$-x^2 + 6x = -m^2 + 6m$，即$x^2 - 6x + ( -m^2 + 6m ) = 0$，解得$x = m$或$x = 6 - m$，所以$B$点横坐标为$6 - m$，$AB = 6 - m - m = 6 - 2m$。
矩形周长$l = 2(AB + AD) = 2[(6 - 2m) + (-m^2 + 6m)] = -2m^2 + 8m + 12$。
(2)解：$l = -2m^2 + 8m + 12 = -2(m - 2)^2 + 20$，因为$-2 ＜ 0$，所以当$m = 2$时，$l$有最大值$20$。