《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

2. 我们把使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点值,此时的点称为函数的零点. 例如,对于函数 $y= x-1$,令 $y= 0$,可得 $x= 1$,我们就说1是函数 $y= x-1$ 的零点值,点 $(1,0)$ 是函数 $y= x-1$ 的零点.
(1)已知函数 $y= 5x-1$,则该函数的零点坐标为$(\frac{1}{5},0)$；
(2)若二次函数 $y= x^2-4x+m$ 有两个零点,求实数m的取值范围；
$m ＜ 4$
(3)已知二次函数 $y= kx^2-(4k+1)x+3k+3$ 的两个零点都是整数点,求整数k的值.
$k = \pm 1$

答案： 【解析】：
本题主要考查了函数零点的定义，即使得函数值为零的自变量的值，以及二次函数与一元二次方程的关系。
(1)对于函数$y= 5x-1$，我们需要找到使得$y=0$的$x$的值。
解方程$5x-1=0$，得到$x=\frac{1}{5}$，
所以，该函数的零点坐标为$(\frac{1}{5},0)$。
(2)对于二次函数$y= x^2-4x+m$，我们需要找到使得函数有两个零点的$m$的取值范围。
这等价于一元二次方程$x^2-4x+m=0$有两个不相等的实数根。
根据判别式的性质，我们有$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
代入$a=1, b=-4, c=m$，得到$16 - 4m ＞ 0$，
解这个不等式，得到$m ＜ 4$，
所以，当$m ＜ 4$时，二次函数$y= x^2-4x+m$有两个零点。
(3)对于二次函数$y= kx^2-(4k+1)x+3k+3$，我们需要找到使得函数有两个整数零点的整数$k$的值。
这等价于一元二次方程$kx^2-(4k+1)x+3k+3=0$有两个整数根，
根据求根公式，我们可以得到方程的两个根为：
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
其中，$a=k, b=-(4k+1), c=3k+3$，
所以，$\Delta = b^2 - 4ac = (4k+1)^2 - 4k(3k+3) = 16k^2 + 8k + 1 - 12k^2 - 12k = 4k^2 - 4k + 1 = (2k-1)^2$
因为方程有两个整数根，所以判别式$\Delta$必须是一个完全平方数，且$k$为整数，
所以，$(2k-1)^2$是完全平方数，这个条件对所有的整数$k$都成立，
进一步，我们可以将方程的两个根表示为：
$x_1 = \frac{(4k+1) + (2k-1)}{2k} = \frac{6k}{2k} = 3$
$x_2 = \frac{(4k+1) - (2k-1)}{2k} = \frac{2k+2}{2k} = 1 + \frac{1}{k}$
由于$x_2$必须是整数，所以$k$只能是$\pm 1$，
当$k=1$时，$x_2=2$，两个零点为$(3,0)$和$(2,0)$，满足条件；
当$k=-1$时，$x_2=0$，两个零点为$(3,0)$和$(0,0)$，也满足条件。
所以，整数$k$的值为$\pm 1$。
【答案】：
(1)$(\frac{1}{5},0)$；
(2)$m ＜ 4$；
(3)$k = \pm 1$。