《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

9. 如图,在△ABC中,AB= AC,以AB为直径的⊙O交边AC于点D,连接BD,过点C作CE//AB.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线,交CE于点F.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,求证：BD= BF.
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答案：
(1) 作图痕迹略（以AB为直径的圆，过B点作AB的垂线交CE于F，此垂线即为⊙O的切线）。
(2) 证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠ABD+∠A=90°。
∵BF是⊙O的切线，
∴AB⊥BF，∠ABF=90°，即∠FBC+∠ABC=90°。
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB。
∵CE//AB，
∴∠A=∠ACD，∠ABC=∠BCE，
∴∠ACB=∠BCE。
设∠A=∠ACD=α，则∠ABD=90°-α，∠ABC=∠ACB=(180°-α)/2=90°-α/2，
∴∠FBC=90°-∠ABC=90°-(90°-α/2)=α/2，∠DBC=∠ACB-∠ACD=(90°-α/2)-α=90°-3α/2（此处修正：∠DBC=∠ABC-∠ABD=(90°-α/2)-(90°-α)=α/2）。
∴∠DBC=∠FBC。
在△DBC和△FBC中，
∠DBC=∠FBC，BC=BC，∠ACB=∠BCE，
∴△DBC≌△FBC（ASA），
∴BD=BF。
（注：原证明中∠DBC计算有误，修正后通过∠ABC=∠ACB，∠ABD=90°-α，∠ABC=(180°-α)/2，可得∠DBC=∠ABC-∠ABD=(180°-α)/2-(90°-α)=α/2，与∠FBC相等，进而用ASA证全等）
最终结论：BD=BF。

1. 三角形外接圆的圆心是(D).
A.三条高的交点
B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三条边的垂直平分线的交点

答案： 【解析】：
本题考查的是三角形外接圆的性质。
三角形外接圆的圆心，也称为外心，是由三角形三个顶点到对应边的垂直平分线的交点确定的。
A. 三条高的交点称为三角形的垂心，不是外接圆的圆心。
B. 三条中线的交点称为三角形的重心，也不是外接圆的圆心。
C. 三条角平分线的交点称为三角形的内心，是三角形内切圆的圆心，不是外接圆的圆心。
D. 三条边的垂直平分线的交点正是三角形外接圆的圆心。
【答案】：
D

2. 三角形内切圆的圆心是(C).
A.三条高的交点
B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三条边的垂直平分线的交点

答案： 【解析】：
本题考察的是三角形内切圆的性质。三角形的内切圆是与三角形的三边都相切的圆，其圆心是三角形三条角平分线的交点，这个点也被称为三角形的内心。
A选项：三条高的交点被称为三角形的垂心，不是内切圆的圆心。
B选项：三条中线的交点被称为三角形的质心，也不是内切圆的圆心。
C选项：三条角平分线的交点正是三角形内切圆的圆心。
D选项：三条边的垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心，被称为外心。
【答案】：
C

3. $PA$,$PB分别切\odot O于点A$,$B$,如果$\angle P= 60°$,$PA= 2$,那么弦$AB$的长为(2).
A.1
B.2
C.$2\sqrt{3}$
D.4

答案： 解：
∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴PA=PB。
∵∠P=60°，
∴△PAB是等边三角形。
∴AB=PA=2。
答案：B

4. 如图,$PA$,$PB为\odot O$的切线,切点分别为$A$,$B$,$PO交AB于点C$,$PO的延长线交\odot O于点D$. 下列结论不一定成立的是(B).

A.$\triangle BPA$为等腰三角形
B.$AB与PD$相互垂直平分
C.点$A$,$B都在以PO$为直径的圆上
D.$PC为\triangle BPA的边AB$上的中线

答案： 【解析】：本题可根据圆的切线性质、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的判定以及三角形中线的定义，对各选项逐一进行分析。
选项A：
因为$PA$、$PB$是$\odot O$的切线，根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
所以$PA = PB$。
有两边相等的三角形是等腰三角形，所以$\triangle BPA$为等腰三角形，该选项成立。
选项B：
由于$PA$、$PB$是$\odot O$的切线，$A$、$B$为切点，根据切线的性质可知$PO$垂直平分$AB$，即$AB\perp PD$，$AC = BC$。
但是$AB$不一定垂直平分$PD$，因为只有当$OP = OB$（即$\odot O$的半径等于$OP$的一半，也就是特殊情况）时，$AB$才垂直平分$PD$，一般情况下不成立，该选项不一定成立。
选项C：
连接$OA$、$OB$，因为$PA$、$PB$是$\odot O$的切线，所以$\angle OAP = \angle OBP = 90^{\circ}$。
又因为$OP$是公共边，$OA = OB$（圆的半径相等），根据“斜边直角边”定理（$HL$）可得$Rt\triangle OAP\cong Rt\triangle OBP$，所以$\angle AOP = \angle BOP$。
根据等腰三角形三线合一的性质可知$OP$垂直平分$AB$，即$AC = BC$，$\angle ACO = \angle BCO = 90^{\circ}$。
那么$\angle OAC + \angle AOC = 90^{\circ}$，$\angle OBC + \angle BOC = 90^{\circ}$，且$\angle AOC = \angle BOC$，所以$\angle OAC = \angle OBC = 90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle AOB$。
以$PO$为直径作圆，因为$\angle OAP = \angle OBP = 90^{\circ}$，所以点$A$、$B$都在以$PO$为直径的圆上（直径所对的圆周角是直角），该选项成立。
选项D：
由前面分析可知$PA = PB$，$AC = BC$，根据三角形中线的定义：三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。
所以$PC$为$\triangle BPA$的边$AB$上的中线，该选项成立。
【答案】：B