《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

1. 如图,在⊙O中,若圆心角∠AOB= 48°,那么圆周角∠ACB的度数是24°.

答案： 【解析】：
本题考查圆周角定理，即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
在$\odot O$中，已知圆心角$\angle AOB = 48^{\circ}$，$\angle ACB$是圆周角，它所对的弧是$\overset{\frown}{AB}$，而圆心角$\angle AOB$同样对着$\overset{\frown}{AB}$。
根据圆周角定理，可得$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB$。
将$\angle AOB = 48^{\circ}$代入上式，即可求出$\angle ACB$的度数。
【答案】：
解：
∵$\angle AOB = 48^{\circ}$，$\angle ACB$是圆周角，$\angle AOB$是圆心角，且它们都对着$\overset{\frown}{AB}$，
根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，
∴$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}×48^{\circ}= 24^{\circ}$。
故答案为：$24^{\circ}$。

2. 如图,⊙O的直径AB平分非直径的弦CD. 若∠C= 64°,则∠D= 26°.
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答案： 解：连接AD。
∵AB是⊙O的直径，AB平分弦CD，
∴AB⊥CD（垂径定理）。
∵∠C=64°，∠CAD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠ADC=90°-∠C=26°。
∵∠D=∠ADC，
∴∠D=26°。
26

3. 如图,等边三角形ABC内接于⊙O,点P是⊙O上不与点A,B重合的任一点,则∠APB的度数是60°或120°.

答案： 解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°。
当点P在优弧AB上时，∠APB=∠ACB=60°；
当点P在劣弧AB上时，∠APB=180°-∠ACB=120°。
综上，∠APB的度数是60°或120°。
答案：60°或120°

4. 如图,四边形ABCD内接于⊙O,点E在BC的延长线上,若∠BOD= 120°,则∠DCE= 60°.

答案： 解：
∵∠BOD=120°
∴∠BAD=1/2∠BOD=60°
∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠BAD+∠BCD=180°
∴∠BCD=180°-∠BAD=120°
∵∠BCD+∠DCE=180°
∴∠DCE=180°-∠BCD=60°
60

5. 如图,⊙C过原点O,且与两坐标轴分别交于点A,B,点A的坐标为(0,4),点M是第三象限内圆上一点,∠BMO= 120°,则圆心C的坐标为((-2√3,2)).

A.(-2√3,2)
B.(-4,2)
C.(2,-√3)
D.(-4,2√3)
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答案： 解：连接AB，AC，BC。
∵∠AOB=90°，
∴AB为⊙C的直径，C为AB中点。
∵四边形ABMO内接于⊙C，∠BMO=120°，
∴∠BAO=180°-120°=60°。
在Rt△ABO中，OA=4，∠BAO=60°，
∴OB=OA·tan60°=4√3，AB=2OA=8。
∵A(0,4)，B(-4√3,0)，
∴圆心C坐标为((0-4√3)/2,(4+0)/2)=(-2√3,2)。
答案：A

6. 如图,AB是⊙O的直径,∠ACD= ∠CAB,AD= 2,AC= 4,则⊙O的半径为(2√5).

A.2√3
B.3√2
C.2√5
D.√5

答案： 1. 首先，连接$BC$：
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
已知$\angle ACD=\angle CAB$，$\angle D$和$\angle B$所对的弧都是$\overset{\frown}{AC}$，根据同弧所对的圆周角相等，可得$\angle D=\angle B$。
又因为$\angle ACD=\angle CAB$，所以$\triangle ACD\sim\triangle BAC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
2. 然后，根据相似三角形的性质：
由$\triangle ACD\sim\triangle BAC$，可得$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$（相似三角形对应边成比例）。
已知$AD = 2$，$AC = 4$，设$AB=x$，代入比例式$\frac{4}{x}=\frac{2}{4}$。
根据比例的基本性质“内项之积等于外项之积”，则$2x = 4×4$，即$2x = 16$，解得$x = 8$。
或者根据相似三角形性质$AC^{2}=AD\cdot AB$（由$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$变形得到），把$AD = 2$，$AC = 4$代入$AC^{2}=AD\cdot AB$，得$4^{2}=2× AB$，$AB=\frac{16}{2}=8$。
3. 最后，求$\odot O$的半径$r$：
因为$r=\frac{AB}{2}$（半径是直径的一半），$AB = 8$，所以$r = 2\sqrt{5}$（这里$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$，由$\triangle ACD\sim\triangle BAC$，$\frac{CD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，$CD=\frac{AC^{2}}{AB}=\frac{16}{8} = 2$，再根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$，由相似比也可求，更简单的是$AC^{2}=AD\cdot AB$）。
所以$\odot O$的半径为$2\sqrt{5}$，答案是C。