《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

6. 某水渠的横截面呈抛物线形,水面的宽为$AB$(单位：m),现以$AB所在直线为x$轴,以抛物线的对称轴为$y$轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为$O$. 已知$AB= 8\ m$,设抛物线解析式为$y= ax^2-4$.
(1)求$a$的值；
(2)点$C(-1,m)$是抛物线上一点,点$C关于原点O的对称点为D$,连接$CD$,$BC$,$BD$,求$\triangle DCB$的面积.

答案： 【解析】：
（1）首先，根据题目条件，$AB$的长度为$8m$，且$AB$所在的直线为$x$轴，抛物线的对称轴为$y$轴。
因此，点$A$和点$B$的坐标分别为$(-4, 0)$和$(4, 0)$。
接下来，将点$B(4, 0)$代入抛物线解析式$y = ax^2 - 4$，得到方程：$0 = 16a - 4$；
解这个方程，得到：$a = \frac{1}{4}$。
（2）由（1）得抛物线的解析式为：$y = \frac{1}{4}x^2 - 4$；
将点$C(-1, m)$代入此解析式，得到：$m = \frac{1}{4}×(-1)^2 - 4 = -\frac{15}{4}$；
因此，点$C$的坐标为$(-1, -\frac{15}{4})$。
由于点$D$是点$C$关于原点$O$的对称点，所以点$D$的坐标为$(1, \frac{15}{4})$。
接下来，计算三角形$\triangle DCB$的面积。
由于$AB$在$x$轴上，$C$和$D$的纵坐标的绝对值就是三角形的高，而$AB$的长度就是三角形的底。
因此，三角形$\triangle DCB$的面积为：
$S_{\triangle DCB} = \frac{1}{2} × AB × (|m| + |\frac{15}{4}|)$
$= \frac{1}{2} × 8 × (\frac{15}{4} + \frac{15}{4})$
$= 15$（$m^2$）。
【答案】：
（1）$a = \frac{1}{4}$；
（2）$S_{\triangle DCB} =15$ $m^2$。

1. 如图①,已知等腰直角三角形$ABC的直角边长与正方形MNPQ$的边长均为4 cm,在同一条直线上,开始时点$A与点M$重合,令$\triangle ABC$向右移动,最后点$A与点N$重合.
(1)写出两图形重叠部分的面积$y\ cm^2与线段MA的长度x\ cm$之间的函数解析式,并写出自变量$x$的取值范围；
(2)请在如图②所示的坐标系中画出此函数的图象,并结合图象指出重叠部分面积的最大值.

答案： 【解析】：由题意知，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为4cm。
当三角形ABC向右移动时，MA的长度为xcm，两图形重叠部分的面积记为$y cm^2$。
当$0\leq x\leq 4$时，重叠部分是一个小的等腰直角三角形，其直角边长为xcm，因此其面积为：
$y=\frac{1}{2}x\cdot x=\frac{1}{2}x^2$，
当$4\lt x\leq 8$时，重叠部分面积等于正方形MNPQ面积减去未重叠的等腰直角三角形面积，
$y=4× 4-\frac{1}{2}(x-4)(x-4)=-\frac{1}{2}x^2+8x-16$，
所以，重叠部分的面积y与MA的长度x之间的函数解析式为：
$y=\begin{cases}\frac{1}{2}x^2(0\leq x\leq 4),\\-\frac{1}{2}x^2+8x-16(4\lt x\leq 8).\end{cases}$
自变量x的取值范围是$0\leq x\leq 8$。
根据二次函数的性质，当$x=4$时，函数$y=\frac{1}{2}x^2$取得最大值，最大值为8；
当$x=8$时，函数$y=-\frac{1}{2}x^2+8x-16$取得最大值，最大值为8。
【答案】：
(1)$y=\begin{cases}\frac{1}{2}x^2(0\leq x\leq 4),\\-\frac{1}{2}x^2+8x-16(4\lt x\leq 8).\end{cases}$自变量x的取值范围是$0\leq x\leq 8$。
(2)图略，重叠部分面积的最大值为$8cm^2$。