《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

7. 用配方法解下列方程：
(1)$x^2-4x+1= 0$；
(2)$4x^2+8x+1= 0$；
(3)$x^2+3x+2= 0$；
(4)$\frac{1}{4}x^2-6x+3= 0$.

答案： 【解析】：
本题主要考查用配方法解一元二次方程。配方法的一般步骤是：首先将二次项系数化为1，然后移项，使常数项移到等号的右边，接着在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，最后利用直接开平方法求解。
(1)解：
原方程为$x^2-4x+1= 0$，
移项得$x^2-4x=-1$，
为了配方，我们在等式的两边同时加上$(-4/2)^2=4$，得到
$x^2-4x+4=3$，
即$(x-2)^2=3$，
开方得$x-2=±\sqrt{3}$，
所以$x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2-\sqrt{3}$。
(2)解：
原方程为$4x^2+8x+1= 0$，
首先，将二次项系数化为1，得到$x^2+2x=-\frac{1}{4}$，
为了配方，我们在等式的两边同时加上$(2/2)^2=1$，得到
$x^2+2x+1=\frac{3}{4}$，
即$(x+1)^2=\frac{3}{4}$，
开方得$x+1=±\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以$x_1=-1+\frac{\sqrt{3}}{2}$，$x_2=-1-\frac{\sqrt{3}}{2}$。
(3)解：
原方程为$x^2+3x+2= 0$，
移项得$x^2+3x=-2$，
为了配方，我们在等式的两边同时加上$(3/2)^2=\frac{9}{4}$，得到
$x^2+3x+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$，
即$(x+\frac{3}{2})^2=\frac{1}{4}$，
开方得$x+\frac{3}{2}=±\frac{1}{2}$，
所以$x_1=-1$，$x_2=-2$。
(4)解：
原方程为$\frac{1}{4}x^2-6x+3= 0$，
首先，将二次项系数化为1，得到$x^2-24x=-12$，
为了配方，我们在等式的两边同时加上$(-24/2)^2=144$，得到
$x^2-24x+144=132$，
即$(x-12)^2=132$，
开方得$x-12=±2\sqrt{33}$，
所以$x_1=12+2\sqrt{33}$，$x_2=12-2\sqrt{33}$。
【答案】：
(1)$x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2-\sqrt{3}$；
(2)$x_1=-1+\frac{\sqrt{3}}{2}$，$x_2=-1-\frac{\sqrt{3}}{2}$；
(3)$x_1=-1$，$x_2=-2$；
(4)$x_1=12+2\sqrt{33}$，$x_2=12-2\sqrt{33}$。

8. 已知$x$,$x+2$是两个连续偶数,它们的积是288,求这两个偶数.

答案： 解：设较小的偶数为$x$，则另一个偶数为$x + 2$。
根据题意，得$x(x + 2)=288$
整理，得$x^{2}+2x - 288=0$
配方，得$x^{2}+2x + 1=288 + 1$
即$(x + 1)^{2}=289$
开平方，得$x + 1=\pm17$
$x + 1=17$或$x + 1=-17$
解得$x_{1}=16$，$x_{2}=-18$
当$x = 16$时，$x + 2=18$；当$x=-18$时，$x + 2=-16$
答：这两个偶数是16和18或-18和-16。

1. 下列一元二次方程无实根的是(C).
A.$x^2 + x - 2 = 0$
B.$x^2 - 2x = 0$
C.$x^2 + x + 5 = 0$
D.$x^2 - 2x + 1 = 0$

答案： 【解析】：
这道题目考察的是一元二次方程的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$的应用。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，当$\Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta ＜ 0$时，方程没有实数根。
接下来，我们分别计算每个选项的判别式：
A. 对于方程$x^2 + x - 2 = 0$，有$a = 1, b = 1, c = -2$，
则$\Delta = 1^2 - 4 × 1 × (-2) = 1 + 8 = 9 ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根，不符合题意。
B. 对于方程$x^2 - 2x = 0$，有$a = 1, b = -2, c = 0$，
则$\Delta = (-2)^2 - 4 × 1 × 0 = 4 ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根，不符合题意。
C. 对于方程$x^2 + x + 5 = 0$，有$a = 1, b = 1, c = 5$，
则$\Delta = 1^2 - 4 × 1 × 5 = 1 - 20 = -19 ＜ 0$，所以方程没有实数根，符合题意。
D. 对于方程$x^2 - 2x + 1 = 0$，有$a = 1, b = -2, c = 1$，
则$\Delta = (-2)^2 - 4 × 1 × 1 = 4 - 4 = 0$，所以方程有两个相等的实数根，不符合题意。
综上所述，只有选项C的方程没有实数根。
【答案】：
C

2. 已知关于x的一元二次方程$mx^2 + nx + k = 0(m \neq 0)$有两个实数根,则下列关于判别式$n^2 - 4mk$的判断正确的是(D).
A.$n^2 - 4mk \leq 0$
B.$n^2 - 4mk = 0$
C.$n^2 - 4mk ＞ 0$
D.$n^2 - 4mk \geq 0$

答案： 【解析】：
题目考查了一元二次方程的判别式知识，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，其判别式为$\Delta=b^2-4ac$，
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根，
当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根，
当$\Delta＜0$时，方程没有实数根，
题目中已知关于$x$的一元二次方程$mx^2 + nx + k = 0(m \neq 0)$有两个实数根，所以可得判别式$\Delta=n^2-4mk\geq 0$。
【答案】：
D

3. 直线$y = x + a$不经过第二象限,则关于x的方程$ax^2 + 2x + 1 = 0$实数解的个数是(C).
A.0个
B.1个
C.1个或2个
D.2个

答案： 解：
∵直线$y=x+a$不经过第二象限，
∴$a \leq 0$。
情况1：当$a=0$时，方程为$2x+1=0$，是一元一次方程，有1个实数解。
情况2：当$a＜0$时，方程为一元二次方程$ax^2+2x+1=0$，
判别式$\Delta=2^2-4 \cdot a \cdot 1=4-4a$。
∵$a＜0$，
∴$-4a＞0$，则$\Delta=4-4a＞0$，方程有2个不相等的实数解。
综上，方程实数解的个数是1个或2个。
答案：C

4. 用公式法解方程$(x + 1)(x - 2) = 1$,化为一般形式为$x^2 - x - 3 = 0$,其中$\Delta =$13,方程的解为$x_1 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}, x_2 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$.

答案： 【解析】：
首先，我们需要将给定的方程$(x + 1)(x - 2) = 1$化为一般形式。
展开并整理得：
$x^2 - 2x + x - 2 = 1$
$x^2 - x - 3 = 0$
其中，$a = 1, b = -1, c = -3$。
接下来，计算判别式$\Delta$：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 × 1 × (-3) = 1 + 12 = 13$
最后，利用求根公式求解方程：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
代入$a, b, \Delta$的值，得到：
$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$
【答案】：
一般形式为：$x^2 - x - 3 = 0$；
$\Delta = 13$；
方程的解为：$x_1 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}, x_2 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$。

5. 若关于x的一元二次方程$(k - 1)x^2 - 4x - 5 = 0$没有实数根,则k的取值范围是$k＜\frac{1}{5}$.

答案： 解：
∵关于x的一元二次方程$(k - 1)x^2 - 4x - 5 = 0$没有实数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}k-1\neq 0\\ \Delta =(-4{)}^{2}-4(k-1)× (-5)＜0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}k\neq 1\\ 16 + 20(k - 1)＜0\end{array}\right.$，
解$16 + 20(k - 1)＜0$：
$16 + 20k - 20＜0$
$20k - 4＜0$
$20k＜4$
$k＜\frac{1}{5}$，
综上，k的取值范围是$k＜\frac{1}{5}$。
$k＜\frac{1}{5}$

6. 已知关于x的一元二次方程$(m - 2)^2x^2 + (2m + 1)x + 1 = 0$有两个不相等的实数根,则m的取值范围是$m ＞ \frac{3}{4}$ 且 $m \neq 2$.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根的判别式以及二次项系数不为0的条件。
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac$。
当 $\Delta ＞ 0$ 时，方程有两个不相等的实数根。
同时，为了保证方程是二次的，系数 $a$ 不能为0。
对于给定的方程 $(m - 2)^2x^2 + (2m + 1)x + 1 = 0$，
首先，其二次项系数为 $(m - 2)^2$，必须满足 $(m - 2)^2 \neq 0$，即 $m \neq 2$。
其次，其判别式为 $\Delta = (2m + 1)^2 - 4(m - 2)^2 × 1$。
要求方程有两个不相等的实数根，即 $\Delta ＞ 0$。
将判别式展开并化简：
$\Delta = (2m + 1)^2 - 4(m - 2)^2$
$= 4m^2 + 4m + 1 - 4(m^2 - 4m + 4)$
$= 4m^2 + 4m + 1 - 4m^2 + 16m - 16$
$= 20m - 15$
要求 $\Delta ＞ 0$，即：
$20m - 15 ＞ 0$
$20m ＞ 15$
$m ＞ \frac{3}{4}$
且由于 $m \neq 2$，
综合以上两个条件，得出 $m$ 的取值范围为 $m ＞ \frac{3}{4}$ 且 $m \neq 2$。
【答案】：
$m ＞ \frac{3}{4}$ 且 $m \neq 2$。