《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

12. 如图,矩形$ABCD$中,$AB= 3$,$BC= 4$,点$F在BC$上,$BF= 1$,点$E在线段AB$边上运动(不与$A$,$B$重合),线段$EF绕着点F顺时针旋转30^\circ得到FG$,连接$CG$. 当$BE= \sqrt{3}$时,求线段$CG$的长.

答案： 解：
在矩形$ABCD$中，$AB=3$，$BC=4$，$BF=1$，$BE=\sqrt{3}$。
在$\triangle BEF$中，$BE=\sqrt{3}$，$BF=1$，$\angle B=90^\circ$，
$\tan\angle BEF=\frac{BF}{BE}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，故$\angle BEF=30^\circ$，
$\angle BFE=90^\circ - 30^\circ=60^\circ$，
$EF=\sqrt{BE^2 + BF^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}=2$。
由旋转性质，$FG=EF=2$，$\angle EFG=30^\circ$，
$\angle GFC=180^\circ - \angle BFE - \angle EFG=180^\circ - 60^\circ - 30^\circ=90^\circ$。
$FC=BC - BF=4 - 1=3$，
在$Rt\triangle GFC$中，$CG=\sqrt{FG^2 + FC^2}=\sqrt{2^2 + 3^2}=\sqrt{13}$。
答案：$\sqrt{13}$

13. 如图,在正方形$ABCD$中,$AB= 2$,对角线$AC与BD相交于点O$,点$E在线段AO$上(与端点不重合),线段$EB绕点E逆时针旋转90^\circ到EF$的位置,点$F恰好落在线段CD$上,$FH\perp AC$,垂足为$H$.
(1)求证：$\triangle OBE\cong\triangle HEF$；
(2)若$OE= 1$,求$CF$的值.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∠BOC=90°，OB=OC。
∵FH⊥AC，
∴∠FHE=90°=∠BOE。
∵EB绕点E逆时针旋转90°到EF，
∴EB=EF，∠BEF=90°，
∴∠OEB+∠HEF=90°。
∵∠OEB+∠OBE=90°，
∴∠OBE=∠HEF。
在△OBE和△HEF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠BOE=∠EHF\\ ∠OBE=∠HEF\\ EB=FE\end{array}\right.$
∴△OBE≌△HEF(AAS)。
(2)解：
∵正方形ABCD中，AB=2，
∴AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}$=2$\sqrt{2}$，
∴AO=CO=$\sqrt{2}$，OB=AO=$\sqrt{2}$。
∵OE=1，由
(1)知△OBE≌△HEF，
∴EH=OB=$\sqrt{2}$，FH=OE=1。
∵点E在线段AO上，
∴AH=AO - OE - EH=$\sqrt{2}$ - 1 - $\sqrt{2}$=-1（此处应为CH=CO - (EH - OE)，修正如下）
∵AC=2$\sqrt{2}$，AE=AO - OE=$\sqrt{2}$ - 1，
∴AH=AE + EH=$\sqrt{2}$ - 1 + $\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$ - 1，
CH=AC - AH=2$\sqrt{2}$ - (2$\sqrt{2}$ - 1)=1。
∵∠FCH=45°，FH⊥AC，
∴△FCH是等腰直角三角形，
∴CF=$\sqrt{FH^2 + CH^2}$=$\sqrt{1^2 + 1^2}$=$\sqrt{2}$。
（注：原
(2)中AH计算有误，修正后CH=1，FH=1，CF=$\sqrt{2}$）
最终答案：
(2)CF的值为$\sqrt{2}$。