《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

12. 如图,在△ABC中,∠A= 90°,∠B= 30°,点O在边BC上,以O为圆心,OC为半径的圆与边AC交于点D,与边AB相切于点E.
(1)当BC= 12时,求⊙O的半径长；
(2)求$\frac{AD}{CD}$的值；
(3)若点P是⊙O上的任一点(不与点E,D重合),请直接写出∠DPE的度数.

答案：
(1)解：连接OE，设⊙O半径为r。
∵AB切⊙O于E，
∴OE⊥AB。
在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC=12，
∴AC=BC·sin30°=6，AB=BC·cos30°=6√3，∠C=60°。
∵OE//AC，
∴△BOE∽△BCA。
∴BO/BC=OE/AC，即(12-r)/12=r/6，解得r=4。
(2)解：由
(1)知r=4，OC=4，BO=8。
在Rt△OEC中，∠C=60°，OC=4，
∴CD=2·OC·cos60°=4（OD=OC，△ODC为等边三角形）。
∵AC=6，
∴AD=AC-CD=2。
∴AD/CD=2/4=1/2。
(3)30°或150°

13. 如图,已知⊙O及⊙O上一点A.
(1)尺规作图：作⊙O的内接正六边形ABCDEF；(保留作图痕迹,不写作法)
(2)连接BF和CE,判断四边形BCEF的形状,并加以证明；
(3)若内接正六边形ABCDEF的边心距为$2\sqrt{3}$,求四边形BCEF的周长.

答案： 【解析】：
(1)这一问主要考查了尺规作图作正多边形，以点A为圆心，AO长为半径画弧交⊙O于B、F，再分别以B、F为圆心，AO长为半径画弧交⊙O于点C、E，最后连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，即可得到⊙O的内接正六边形ABCDEF。
(2)这一问主要考查正六边形的性质以及平行四边形的判定。因为正六边形的每一条边所对的圆心角都相等，且都等于$\frac{360^{\circ}}{6}=60^{\circ}$，所以$\angle BOC = \angle COD = 60^{\circ}$，又因为OB = OC = OD，所以$\triangle BOC$和$\triangle COD$都是等边三角形，那么BC = CD = OD，同理可得EF = FA = AO，且正六边形的对边平行，所以BC// EF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判断四边形BCEF是平行四边形，又因为BC = EF，所以四边形BCEF是矩形。
(3)这一问主要考查正六边形的边心距与边长的关系以及矩形的周长计算。设正六边形的中心为O，边心距OH = $2\sqrt{3}$（H为边AB上一点且OH垂直于AB），在$\triangle AOH$中，$\angle AOH = 30^{\circ}$，根据三角函数关系可求出正六边形的边长AB = 4，那么矩形BCEF的长BC = 4$\sqrt{3}$，宽BF = 4，进而可求出其周长。
【答案】：
(1)图略
(2)四边形BCEF是矩形。
证明：连接OB、OC、OD、OE、OF。
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴$\angle BOC = \angle COD = 60^{\circ}$，OB = OC = OD = OE = OF。
∴$\triangle BOC$，$\triangle COD$都是等边三角形。
∴BC = CD = OD，
同理EF = FA = AO。
∴BC// EF，BC = EF。
∴四边形BCEF是平行四边形。
又
∵$\angle BCD = 120^{\circ}$，
∴$\angle CBF = \angle BFE = 90^{\circ}$。
∴四边形BCEF是矩形。
(3)设O到AB的垂足为H，则OH = $2\sqrt{3}$。
∵$\angle AOH = 30^{\circ}$，OH\perp AB，
∴AH = BH = 2，OA = 4。
∴AB = 4，BC = $4\sqrt{3}$。
∴四边形BCEF的周长 = $2(BC + AB)$ = $8 + 8\sqrt{3}$。

14. 装有水的水槽放置在水平台面上,其横截面是以AB为直径的半圆O,AB= 50 cm,如图①和图②所示,MN为水面截线,GH为台面截线,MN//GH.
(1)在图①中,已知MN= 48 cm,作OC⊥MN于点C,求OC的长.
操作 将图①中的水面沿GH向右作无滑动的滚动,使水流出一部分,当∠ANM= 30°时停止滚动,如图②. 其中,半圆的中点为Q,GH与半圆的切点为E,连接OE交MN于点D.
(2)操作后水面高度下降了多少？
(3)连接OQ并延长交GH于点F,求线段EF与$\overset{\frown}{EQ}$的长度,并比较大小.

答案：
(1)解：连接OM，
∵AB=50cm，
∴OM=OA=25cm，
∵OC⊥MN，MN=48cm，
∴MC=CN=24cm，
在Rt△OMC中，OC=$\sqrt{OM^2-MC^2}=\sqrt{25^2-24^2}=7$cm.
(2)解：连接ON，
∵MN//GH，OE⊥GH，
∴OE⊥MN，即OD⊥MN，
∵∠ANM=30°，ON=OA=25cm，
在Rt△OND中，OD=ON·sin30°=25×$\frac{1}{2}$=12.5cm，
操作前水面高度为OC+OE=7+25=32cm（OE为半径，OE=25cm），
操作后水面高度为OD+OE=12.5+25=37.5cm？？？（此处原解析逻辑错误，应为：操作前水面到圆心距离为OC=7cm，高度为25+7=32cm；操作后水面到圆心距离OD=12.5cm，高度为25+12.5=37.5cm，高度上升，与“下降”矛盾，推测应为操作前水面在圆心下方，高度为25-7=18cm，操作后水面高度为25-12.5=12.5cm，下降18-12.5=5.5cm，修正如下）
操作前水面到圆心距离OC=7cm（下方），高度为25-7=18cm，
操作后水面到圆心距离OD=12.5cm（下方），高度为25-12.5=12.5cm，
下降高度：18-12.5=5.5cm.
(3)解：
∵Q为半圆中点，
∴OQ⊥AB，∠AOQ=90°，
∵OE⊥GH，OQ=OE=25cm，∠QOE=∠ANM=30°（同位角），
EF=OE·tan30°=25×$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{25\sqrt{3}}{3}$cm，
$\overset{\frown}{EQ}$的长=$\frac{30°×π×25}{180°}=\frac{25π}{6}$cm，
∵$\frac{25\sqrt{3}}{3}≈14.43$，$\frac{25π}{6}≈13.09$，
∴EF＞$\overset{\frown}{EQ}$.
（注：第
(2)问原解析高度计算方向错误，已修正为水面在圆心下方的实际情况，下降高度为5.5cm=11/2cm；第
(3)问EF计算利用∠QOE=30°，EF=OQ·tan30°=25×$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\overset{\frown}{EQ}$弧长公式正确。）
最终答案：
(1)7cm；
(2)$\frac{11}{2}$cm；
(3)EF=$\frac{25\sqrt{3}}{3}$cm，$\overset{\frown}{EQ}=\frac{25π}{6}$cm，EF＞$\overset{\frown}{EQ}$.