《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

6. 钟表上的分针绕其轴心旋转,经过15分钟后,分针转过的角度为90°.

答案： 【解析】：
本题主要考查了钟表上分针旋转的角度问题。
在一小时内，分针会绕轴心旋转一圈，即360度。
因此，分针每分钟转过的角度是$\frac{360^{\circ}}{60} = 6^{\circ}$。
题目要求经过15分钟后，分针转过的角度，可以通过上述每分钟转过的角度进行计算。
【答案】：
解：$15 × 6^{\circ} = 90^{\circ}$
所以，经过15分钟后，分针转过的角度为$90^{\circ}$。
故答案为：$90^{\circ}$。

7. 若点$P(x,-3)与点Q(4,y)$关于原点对称,则$(x+y)^{2025}=$-1.

答案： 解：
∵点$P(x,-3)$与点$Q(4,y)$关于原点对称，
∴$x=-4$，$y=3$，
∴$x + y=-4 + 3=-1$，
∴$(x + y)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$。
$-1$

8. 如图,一个中心对称图形中,$A$为对称中心,若$\angle C= 90°$,$\angle B= 30°$,$AC= 2$,则$AB'$的长为4.

答案： 【解析】：本题可根据中心对称图形的性质，得出对应线段相等，再结合直角三角形的性质来求解$AB'$的长。
步骤一：明确中心对称图形的性质
在中心对称图形中，对应点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分，对应线段相等。
已知$A$为对称中心，$B$与$B'$，$C$与$C'$是对应点，所以$AB = AB'$，$AC = AC'$。
步骤二：求出$AB$的长
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，$AC = 2$。
根据在直角三角形中，$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半这一性质，因为$\angle B = 30^{\circ}$，$\angle B$所对的直角边是$AC$，斜边是$AB$，所以$AB = 2AC$。
将$AC = 2$代入$AB = 2AC$，可得$AB = 2×2 = 4$。
步骤三：求出$AB'$的长
由中心对称图形的性质可知$AB = AB'$，因为$AB = 4$，所以$AB' = 4$。
【答案】：$4$

9. 如图,在正方形$ABCD$中,$AC$,$BD$相交于点O,$\triangle AOE绕点O逆时针旋转90°后与\triangle BOF$重合,$AB= 2$,则四边形$BEOF$的面积是______.

1

答案： 解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=2，
∴正方形ABCD的面积为$2×2=4$。
∵AC，BD是正方形ABCD的对角线，交于点O，
∴AC⊥BD，且O为AC，BD中点，
∴$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}=\frac{1}{4}×4=1$。
∵$\triangle AOE$绕点O逆时针旋转90°后与$\triangle BOF$重合，
∴$S_{\triangle AOE}=S_{\triangle BOF}$。
∴$S_{四边形BEOF}=S_{\triangle BOE}+S_{\triangle BOF}=S_{\triangle BOE}+S_{\triangle AOE}=S_{\triangle AOB}=1$。
1

10. 用两个全等且边长为4的等边三角形$ABC和\triangle ACD拼成菱形ABCD$,把一个$60°$角的三角尺与这个菱形叠合,使三角尺的$60°角的顶点与点A$重合,两边分别与$AB$,$AC$重合,再将三角尺绕点$A$按逆时针方向旋转. 如图所示,在转动过程中,三角尺的两边与射线$BC$,$CD分别交于E$,$F$,当$\triangle AEC的面积是2\sqrt{3}$时,$CF$的长为______.

2或6

答案： 解：
情况1：点E在BC上
过A作AG⊥BC于G，等边△ABC中，AG=√3/2×4=2√3。
S△AEC=1/2×CE×AG=2√3，即1/2×CE×2√3=2√3，解得CE=2。
∵△ABC和△ACD为等边三角形，∠BAC=∠CAD=60°，∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAF，又AB=AC=AD，∠ABE=∠ACF=60°，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴CF=BE。
∵BC=4，CE=2，
∴BE=BC-CE=2，
∴CF=2。
情况2：点E在BC延长线上
同理，S△AEC=1/2×CE×AG=2√3，解得CE=2。
BE=BC+CE=4+2=6，由△ABE≌△ACF，得CF=BE=6。
综上，CF的长为2或6。
答案：2或6

11. 如图,已知$\triangle ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,3)$,$B(-6,0)$,$C(-1,0)$.
(1)请直接写出点$A关于y$轴对称的点的坐标；
(2)将$\triangle ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°$,画出图形,并直接写出点$B$的对应点的坐标；
(3)请直接写出以$A$,$B$,$C$为顶点的平行四边形的第4个顶点$D$的坐标.

答案：
【解析】：
(1)本题可根据关于$y$轴对称的点的坐标特征来求解。关于$y$轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数。已知点$A$的坐标为$(-2,3)$，那么点$A$关于$y$轴对称的点的横坐标为$-(-2)=2$，纵坐标不变仍为$3$，所以该点坐标为$(2,3)$。
(2)本题可根据绕原点$O$逆时针旋转$90^{\circ}$的坐标变化规律来求解。在平面直角坐标系中，点$(x,y)$绕原点$O$逆时针旋转$90^{\circ}$后得到的点的坐标为$(-y,x)$。已知点$B$的坐标为$(-6,0)$，将$x=-6$，$y = 0$代入上述规律，可得旋转后点$B$的对应点的坐标为$(0,6)$。
(3)本题可根据平行四边形的性质，分三种情况讨论来求解点$D$的坐标。设点$D$的坐标为$(x,y)$。
当$AB$为平行四边形的一条对角线时，根据平行四边形对边平行且相等，可得$AB$与$DC$的中点重合。$A(-2,3)$，$B(-6,0)$，$C(-1,0)$，根据中点坐标公式$(\frac{x_1 + x_2}{2},\frac{y_1 + y_2}{2})$，$AB$中点坐标为$(\frac{-2 - 6}{2},\frac{3 + 0}{2})$即$(-4,\frac{3}{2})$，$DC$中点坐标为$(\frac{x - 1}{2},\frac{y + 0}{2})$，则$\frac{x - 1}{2}=-4$，$\frac{y}{2}=\frac{3}{2}$，解得$x=-7$，$y = 3$，此时$D$点坐标为$(-7,3)$。
当$AC$为平行四边形的一条对角线时，同理可得$AC$与$BD$的中点重合。$AC$中点坐标为$(\frac{-2 - 1}{2},\frac{3 + 0}{2})$即$(-\frac{3}{2},\frac{3}{2})$，$BD$中点坐标为$(\frac{x - 6}{2},\frac{y + 0}{2})$，则$\frac{x - 6}{2}=-\frac{3}{2}$，$\frac{y}{2}=\frac{3}{2}$，解得$x = 3$，$y = 3$，此时$D$点坐标为$(3,3)$。
当$BC$为平行四边形的一条对角线时，$BC$与$AD$的中点重合。$BC$中点坐标为$(\frac{-6 - 1}{2},\frac{0 + 0}{2})$即$(-\frac{7}{2},0)$，$AD$中点坐标为$(\frac{x - 2}{2},\frac{y + 3}{2})$，则$\frac{x - 2}{2}=-\frac{7}{2}$，$\frac{y + 3}{2}=0$，解得$x=-5$，$y=-3$，此时$D$点坐标为$(-5,-3)$。
【答案】：
(1)$(2,3)$
(2)$(0,6)$
(3)$(-7,3)$，$(3,3)$，$(-5,-3)$