《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

1. 如图,在矩形ABCD中,AB= 4,AD= 3,以顶点D为圆心作半径为r的$\odot D.$(1)若r= 4,则点A在$\odot D$内,点B在$\odot D$外,点C在$\odot D$上.(2)当r=5,点B在$\odot D$上；若点B不在$\odot D$外,则r的取值范围是$r\geq 5$.

答案： 【解析】：本题主要考查点和圆的位置关系。
点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外。
设圆的半径为$r$，点到圆心的距离为$d$，则有：
点在圆内 $\Leftrightarrow d \lt r$；
点在圆上 $\Leftrightarrow d = r$；
点在圆外 $\Leftrightarrow d \gt r$。
（1）已知在矩形$ABCD$中，$AB = 4$，$AD = 3$，以顶点$D$为圆心作半径为$r$的圆。
当$r = 4$时：
点$A$到圆心$D$的距离$AD = 3$，因为$3\lt 4$，即$AD\lt r$，所以点$A$在$\odot D$内。
点$B$到圆心$D$的距离$BD=\sqrt{AB^{2} + AD^{2}}=\sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$，因为$5\gt 4$，即$BD\gt r$，所以点$B$在$\odot D$外。
点$C$到圆心$D$的距离$CD = 4$，因为$4 = 4$，即$CD = r$，所以点$C$在$\odot D$上。
（2）当点$B$在$\odot D$上时，点$B$到圆心$D$的距离$BD$等于圆的半径$r$。
由勾股定理可得$BD=\sqrt{AB^{2} + AD^{2}}=\sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$，所以$r = 5$。
若点$B$不在$\odot D$外，则点$B$在$\odot D$上或$\odot D$内，即$BD\leq r$。
因为$BD = 5$，所以$r\geq 5$，又因为半径$r\gt0$，所以$r$的取值范围是$r\geq 5$。
【答案】：
(1)内；外；上；
(2)$5$；$r\geq 5$。

2. 若$\triangle ABC$的三边长分别为5,12,13,则其外接圆的半径是6.5.

答案： 【解析】：
首先，根据勾股定理，若三角形ABC的三边满足$a^2 + b^2 = c^2$，则三角形ABC是一个直角三角形。
对于给定的三边长5, 12, 13，我们有：
$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$
所以，$\triangle ABC$是一个直角三角形。
直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半。因此，
半径 $r = \frac{13}{2} = 6.5$
【答案】：
6.5