《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

1. 如图①,正方形ABCD中,点E在边AD上(不与端点A,D重合),点A关于直线BE的对称点为点F,连接CF,设∠ABE= α.
(1)求∠BCF的大小(用含α的式子表示).
(2)将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH,点E的对应点为点H,连接BF,HF. 如图②,当E为边AD的中点时,判断△BFH的形状,并说明理由.

答案：
(1)解：连接BF，
∵点A关于直线BE的对称点为点F，
∴BE垂直平分AF，
∴AB=BF，∠ABE=∠FBE=α，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴BF=BC，∠FBC=∠ABC - ∠ABF=90° - 2α，
∴∠BCF=∠BFC=(180° - ∠FBC)/2=(180° - 90° + 2α)/2=45° + α.
(2)解：△BFH是等腰直角三角形，理由如下：
∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，
∴BE=BH，∠EBH=90°，
∵点A关于直线BE的对称点为点F，
∴AB=BF，∠ABE=∠FBE，
设∠ABE=∠FBE=α，则∠ABF=2α，
∵四边形ABCD是正方形，E为AD中点，
∴AB=AD=2AE，∠BAE=90°，
tanα=AE/AB=1/2，
∵AB=BF，AB=BC，
∴BF=BC，
由
(1)知∠BCF=45° + α，
∠BCH=∠BAE=90°，
∴∠FCH=∠BCH - ∠BCF=90° - (45° + α)=45° - α，
∠HBC=∠ABE=α，
∠BHC=90° - α，
在△FCH中，∠CFH=180° - ∠FCH - ∠BHC=180° - (45° - α) - (90° - α)=45° + 2α，
∠BFC=∠BCF=45° + α，
∠BFH=∠CFH - ∠BFC=45° + 2α - (45° + α)=α，
∠FBH=∠FBC + ∠HBC=(90° - 2α) + α=90° - α，
在△BFH中，∠BHF=180° - ∠FBH - ∠BFH=180° - (90° - α) - α=90°，
∵BE=BH，BF=BF，∠ABE=∠FBH=α，
∴△BEF≌△BHF(SAS)，
∴BF=BH，
∴BF=BH，∠BHF=90°，
∴△BFH是等腰直角三角形.

2. 如图,已知四边形纸片ABCD,现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片. 如果限定裁剪线最多只有两条,请确定裁剪的位置,并说明拼接方法.

答案： 【解析】：
本题考查了图形的剪拼，通过中点和中位线定理来寻找裁剪线，再通过平移完成拼接。
取四边形各边中点顺次连接，把四边形分成四个三角形，以不相邻的两个三角形底边为平行四边形的两腰进行平移拼接可得到一个平行四边形，根据是三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，因此平行四边形的一组对边与四边形的某两边之和相等，另一组对边与四边形的另两边之和的一半相等，由此可确定裁剪的位置和拼接方法。
【答案】：
解：
取各边中点$E$、$F$、$G$、$H$，连接$HE$、$GF$，剪开$\bigtriangleup AHE$，$\bigtriangleup CGF$，将$\bigtriangleup AHE$绕点$H$旋转$180^{\circ}$，将$\bigtriangleup CGF$绕点$F$旋转$180^{\circ}$，再按图②方式拼接，则四边形$EFGH$为平行四边形。
理由：$\because$ $E$、$H$、$G$、$F$分别是$AB$、$AD$、$CD$、$BC$的中点，
$\therefore EH$、$GF$分别是$\bigtriangleup ABD$、$\bigtriangleup CBD$的中位线，
$\therefore EH// BD$，$EH=\frac{1}{2}BD$，$GF// BD$，$GF=\frac{1}{2}BD$，
$\therefore EH// GF$，$EH=GF$，
$\therefore$四边形$EFGH$为平行四边形。
图略。