《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

1. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+c= 0(a\neq0)$.
(1)若 $a+c= -b$,求证：$x= 1$ 必是该方程的一个根.
(2)当 $a$,$b$,$c$ 之间满足什么关系时,该方程必有一根是 $x= -1$.

答案： 【解析】：
(1)要证明$x=1$是方程的一个根，我们可以将$x=1$代入方程，验证是否满足方程。
已知$a+c=-b$，将$x=1$代入方程$ax^2+bx+c=0$，得到$a×1^2+b×1+c=a+b+c$。
由于$a+c=-b$，所以$a+b+c=0$，即$x=1$是方程的一个根。
(2)要找出使$x=-1$成为方程的一个根的条件，我们可以将$x=-1$代入方程，并解出$a$，$b$，$c$之间的关系。
将$x=-1$代入方程$ax^2+bx+c=0$，得到$a×(-1)^2+b×(-1)+c=a-b+c=0$。
所以，当$a-b+c=0$时，方程必有一根是$x=-1$。
【答案】：
(1)证明：将$x=1$代入原方程，得：
左边=$a×1^2+b×1+c=a+b+c$，
由于$a+c=-b$，
所以左边=$a+b+c=a+c+b=0$=右边，
从而$x=1$是原方程的一个根。
(2)解：将$x=-1$代入原方程，得：
左边=$a×(-1)^2+b×(-1)+c=a-b+c$，
由于左边=0，
所以$a-b+c=0$，
即当$a-b+c=0$时，原方程必有一根是$x=-1$。

2. 已知一元二次方程 $\frac{1}{2}x^2-x= 2$,请回答下列问题.
(1)下列式子中,有哪几个是方程 $\frac{1}{2}x^2-x= 2$ 所化成的一元二次方程的一般形式？
① $\frac{1}{2}x^2-x-2= 0$；② $-\frac{1}{2}x^2+x+2= 0$；③ $x^2-2x= 4$；④ $-x^2+2x+4= 0$；⑤ $\sqrt{3}x^2-2\sqrt{3}x-4\sqrt{3}= 0$.
答案：①②④⑤.(填序号)
(2)将方程 $\frac{1}{2}x^2-x= 2$ 化为一元二次方程的一般形式,它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？
若设二次项系数为$a\left(a\neq 0\right)$，则一次项系数为$-2a$，常数项为$-4a$

答案： 【解析】：
(1)本题主要考察一元二次方程的一般形式，即$ax^2 + bx + c = 0$，其中$a\neq 0$。
对于给出的方程$\frac{1}{2}x^2 - x = 2$，可以将其转化为一般形式，即$\frac{1}{2}x^2 - x - 2 = 0$。
然后，我们将这个一般形式与选项中的各式子进行比较。
①$\frac{1}{2}x^2 - x - 2 = 0$，与我们转化得到的一般形式相同，所以是正确的。
②$-\frac{1}{2}x^2 + x + 2 = 0$，可以看作是我们转化得到的一般形式两边同时乘以-1，所以也是正确的。
③$x^2 - 2x = 4$，并没有转化为等于0的形式，所以是错误的。
④$-x^2 + 2x + 4 = 0$，可以看作是我们转化得到的一般形式两边同时乘以-2，所以也是正确的。
⑤$\sqrt{3}x^2 - 2\sqrt{3}x - 4\sqrt{3} = 0$，可以看作是我们转化得到的一般形式两边同时乘以$2\sqrt{3}$，得到$\sqrt{3}×(\frac{1}{2}x^2 - x - 2) =\sqrt{3}× 0$，即$\sqrt{3}x^2 - 2\sqrt{3}x - 4\sqrt{3} = 0$，所以也是正确的。
所以，正确的序号有：①②④⑤。
(2)对于方程$\frac{1}{2}x^2 - x = 2$，其一元二次方程的一般形式为$\frac{1}{2}x^2 - x - 2 = 0$。
在这个方程中，二次项系数为$\frac{1}{2}$，一次项系数为-1，常数项为-2。
观察这三个系数，我们可以发现它们之间的关系：
如果我们将二次项系数乘以-2，得到的结果就是一次项系数乘以2且为常数项的相反数，
即$\frac{1}{2}× (-2) =-1× 2=-2× 1$（或说常数项是一次项系数与二次项系数之比的-2倍，
即$\frac{-2}{\frac{1}{2}÷(-1)} =-2× (-2)=4÷ 2=2$的相反数）。
【答案】：
(1)①②④⑤
(2)若设二次项系数为$a\left(a\neq 0\right)$，则一次项系数为$-2a$，常数项为$-4a$