《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

1. 如图,线段OA在平面直角坐标系内,A点坐标为(2,3),线段OA绕原点O逆时针旋转90°,得到线段OA′,则点A′的坐标为((-3, 2)).

A.(-3,2)
B.(3,2)
C.(2,-3)
D.(3,-2)

答案： 【解析】：
本题考查坐标与图形变换中的旋转。
在平面直角坐标系中，一个点绕原点逆时针旋转$90^\circ$的坐标变换规律是：点$(x, y)$旋转后变为$(-y, x)$。
这是因为，当一个点绕原点逆时针旋转$90^\circ$时，其横坐标和纵坐标会互换，并且新的横坐标会是原纵坐标的相反数。
现在，我们有点$A(2, 3)$，根据上面的规律，绕原点逆时针旋转$90^\circ$后，新的坐标应为$(-3, 2)$。
【答案】：A

2. 一台起重机的工作简图如图所示,吊杆$OA_1$与吊绳的夹角为80°,在同一平面内,将$OA_1$逆时针旋转45°后到$OA_2$的位置,则吊杆$OA_2$与所连吊绳的夹角α为(C).

A.25°
B.30°
C.35°
D.45°

答案： 【解析】：本题可根据旋转的性质以及三角形内角和定理来求解吊杆$OA_2$与所连吊绳的夹角$\alpha$。
步骤一：分析旋转前后对应角的关系
已知将$OA_1$逆时针旋转$45^{\circ}$后到$OA_2$的位置，所以$\angle A_1OA_2 = 45^{\circ}$。
步骤二：找出与所求角相关的三角形
在由吊杆和吊绳构成的三角形中，已知吊杆$OA_1$与吊绳的夹角为$80^{\circ}$，即$\angle A_1OB = 80^{\circ}$。
因为旋转前后吊绳的位置不变，所以$\angle A_2OB$与$\angle A_1OB$和$\angle A_1OA_2$存在数量关系，且$\angle A_2OB=\angle A_1OB - \angle A_1OA_2$。
步骤三：计算$\angle A_2OB$的度数
将$\angle A_1OB = 80^{\circ}$，$\angle A_1OA_2 = 45^{\circ}$代入$\angle A_2OB=\angle A_1OB - \angle A_1OA_2$，可得：
$\angle A_2OB = 80^{\circ} - 45^{\circ} = 35^{\circ}$
步骤四：确定吊杆$OA_2$与所连吊绳的夹角$\alpha$
因为吊杆$OA_2$与所连吊绳的夹角为$\alpha$，而$\alpha$与$\angle A_2OB$是同一个角，所以$\alpha = 35^{\circ}$。
【答案】：C

3. 有一个正n边形旋转90°后与自身重合,则n为(C).
A.6
B.9
C.12
D.15

答案： 解：正n边形的最小旋转角为$\frac{360^{\circ}}{n}$。
因为旋转$90^{\circ}$后与自身重合，所以$90^{\circ}$是最小旋转角的整数倍，即$\frac{360^{\circ}}{n}$能整除$90^{\circ}$。
$\frac{90^{\circ}}{\frac{360^{\circ}}{n}}=\frac{n}{4}$，$\frac{n}{4}$为整数，所以n是4的倍数。
选项中只有12是4的倍数。
答案：C

4. 如图,将面积为7的正方形OABC和面积为9的正方形ODEF分别绕原点O顺时针旋转,使OA,OD落在数轴上,点A,D在数轴上对应的数字分别为a,b,则b-a= 3 - $\sqrt{7}$.

答案： 【解析】：
此题考查了正方形面积与边长的关系，以及数轴上数字与边长的联系，我们需要先根据正方形面积求出边长，再确定数轴上对应数字，最后计算$b - a$的值，
正方形$OABC$的面积为$7$，根据正方形面积公式$S = 边长×边长$，设正方形$OABC$的边长为$x$，则$x^2 = 7$，解得$x=\sqrt{7}$，因为点$A$在数轴上对应的数字为$a$，且$OA$为正方形$OABC$的边长，所以$a = \sqrt{7}$，
正方形$ODEF$的面积为$9$，设正方形$ODEF$的边长为$y$，则$y^2 = 9$，解得$y = 3$，因为点$D$在数轴上对应的数字为$b$，且$OD$为正方形$ODEF$的边长，所以$b = 3$，
将$a = \sqrt{7}$，$b = 3$代入$b - a$，可得$b - a = 3 - \sqrt{7}$。
【答案】：
$3 - \sqrt{7}$

5. 如图,在△ABC中,∠C= 90°,∠B= 30°,AB= 6,将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′,B′C′交AB于点E,则B′E= 3$\sqrt{3}$ - 3.

答案： 解：在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=6，
∴∠CAB=60°，AC=AB·cos60°=6×$\frac{1}{2}$=3，
BC=AB·sin60°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$。
将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，
∴∠BAB′=15°，AB′=AB=6，∠AB′C′=∠B=30°，
∴∠C′AB=∠CAB - ∠BAB′=60° - 15°=45°。
在Rt△AC′E中，∠C′=90°，∠C′AE=45°，AC′=AC=3，
∴C′E=AC′·tan45°=3×1=3。
在Rt△AC′B′中，∠C′=90°，AB′=6，∠AB′C′=30°，
∴C′B′=AB′·cos30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$。
∴B′E=C′B′ - C′E=3$\sqrt{3}$ - 3。
故答案为：3$\sqrt{3}$ - 3。

6. 如图,在△ABC和△ADE中,AB= AC,∠BAC= ∠DAE= 40°,将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度,当AD//BC时,∠BAE的度数是______.

30°

答案： 解：
∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠ABC=∠ACB=(180°-40°)/2=70°.
∵AD//BC，
∴∠BAD=∠ABC=70°（两直线平行，内错角相等）.
∵∠DAE=40°，
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=70°-40°=30°.
30°