《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

5. 《九章算术》是东方数学思想之源,该书中记载：“今有勾八步,股一十五步,问勾中容圆几何.”其意思为：“今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形内切圆的直径是多少步.”该问题的答案是6步.

答案： 解：设直角三角形的两直角边分别为$a=8$步，$b=15$步，斜边为$c$步，内切圆半径为$r$步。
由勾股定理得：$c = \sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{8^{2}+15^{2}}=\sqrt{64 + 225}=\sqrt{289}=17$。
根据直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a + b - c}{2}$，可得：$r=\frac{8+15 - 17}{2}=\frac{6}{2}=3$。
所以内切圆直径为$2r = 2×3=6$步。
答案：6

6. 如图,已知$PA$,$PB分别与\odot O相切于A$,$B$两点,$\angle P= 72°$,则$\angle C= $54°.
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答案： 解：连接OA，OB。
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°。
在四边形OAPB中，∠P=72°，
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-72°=108°。
∵∠ACB是$\odot O$的圆周角，∠AOB是$\odot O$的圆心角，且它们所对的弧都是$\overset{\frown}{AB}$，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×108°=54°。
54

7. 如图,在$\triangle ABC$中,点$P是\triangle ABC$的内心,则$\angle PBC+\angle PCA+\angle PAB= $90°.
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答案： 解：
∵点P是△ABC的内心，
∴PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，PA平分∠BAC，
∴∠PBC=∠ABC/2，∠PCA=∠ACB/2，∠PAB=∠BAC/2，
∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=(∠ABC+∠ACB+∠BAC)/2，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=180°/2=90°。
90

8. 已知$\triangle ABC$的面积为16,周长为24.
(1)求作$\triangle ABC的内切圆\odot O$；(保留作图痕迹,不写作法)
(2)求$\odot O$的半径.
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答案： 【解析】：
(1) 已知$\triangle ABC$，要求作其内切圆。内切圆的圆心是三角形三个内角的角平分线的交点，即内心。半径是内心到三角形一边的距离。
由于题目要求保留作图痕迹，不写作法，因此只需描述出作图的关键步骤：作出$\angle BAC$、$\angle ABC$、$\angle ACB$的角平分线，它们的交点即为圆心O。以O为圆心，以O到AB边的距离为半径，作出内切圆。
(2)设内切圆半径为$r$。
三角形的面积也可以表示为半周长与内切圆半径的乘积，即$S = pr$，其中$p$是半周长。
已知$\triangle ABC$的面积为16，周长为24，所以半周长$p = \frac{24}{2} = 12$。
代入公式$S = pr$，得到$16 = 12r$。
解这个方程，得到$r = \frac{4}{3}$。
【答案】：
(1)图略；
(2)$ \frac{4}{3}$。

9. 如图,$\triangle ABC的内切圆\odot O与BC$,$CA$,$AB分别相切于点D$,$E$,$F$,且$AB= 9\ cm$,$BC= 15\ cm$,$CA= 12\ cm$,求$AF$,$BD$,$CE$的长.
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答案： 解：设$AF = x\ cm$。
因为$\odot O$是$\triangle ABC$的内切圆，与$AB$、$AC$分别相切于点$F$、$E$，所以$AE = AF = x\ cm$。
因为$AB = 9\ cm$，所以$BF = AB - AF = 9 - x\ cm$。
因为$\odot O$与$BC$相切于点$D$，所以$BD = BF = 9 - x\ cm$，$CD = CE$。
因为$AC = 12\ cm$，所以$CE = AC - AE = 12 - x\ cm$，则$CD = 12 - x\ cm$。
因为$BC = 15\ cm$，且$BD + CD = BC$，所以$(9 - x) + (12 - x) = 15$。
解得$x = 3$。
所以$AF = 3\ cm$，$BD = 9 - 3 = 6\ cm$，$CE = 12 - 3 = 9\ cm$。
答：$AF$的长为$3\ cm$，$BD$的长为$6\ cm$，$CE$的长为$9\ cm$。