《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

1. 若圆锥的侧面展开图为半圆,则该圆锥的母线l与底面半径r的关系是(A).
A.l= 2r
B.l= 3r
C.l= r
D.l= 3/2 r

答案： 【解析】：
题目要求找出圆锥的母线$l$与底面半径$r$的关系，给定条件是圆锥的侧面展开图为半圆。
根据圆的性质，一个半圆的弧长等于其直径对应的圆的周长的一半。
设圆锥的底面半径为$r$，母线为$l$。
圆锥侧面展开后形成的半圆的弧长应等于圆锥底面的周长，即$2\pi r$。
同时，这个半圆的半径即为圆锥的母线$l$，所以半圆的弧长也可表示为$\pi l$（因为半圆的周长是$\pi$乘以直径，但这里我们只考虑弧长，所以是$\pi l$）。
由以上两点，可以得出等式：$\pi l = 2\pi r$。
解这个等式，可以得到$l = 2r$。
【答案】：
A. $l = 2r$。

2. 某款“不倒翁”(图①)的主视图是图②,PA,PB分别与$\overset{\frown}{AMB}$所在圆相切于点A,B. 若该圆半径是9 cm,∠P= 40°,则$\overset{\frown}{AMB}$的长是(11π cm).

A.11π cm
B.11/2 π cm
C.7π cm
D.7/2 π cm
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答案： 解：连接OA，OB。
∵PA，PB是切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，∠OAP=∠OBP=90°。
在四边形OAPB中，∠P=40°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-40°=140°。
∵圆半径r=9cm，
∴优弧AMB所对圆心角为360°-140°=220°。
∴$\overset{\frown}{AMB}$的长=$\frac{220×π×9}{180}$=11π cm。
答案：A

3. 如图,在边长为1的正方形网格中,“x状”图案(阴影部分)是由半径分别为1和2,圆心在格点上的两种弧围成的,则阴影部分的面积是$3\pi$.
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答案： 解：由图可知，阴影部分由4个半径为2的扇形和4个半径为1的扇形组成，且每个大扇形和小扇形的圆心角均为90°。
一个半径为2的扇形面积：$\frac{90}{360} × \pi × 2^2 = \frac{1}{4} × \pi × 4 = \pi$
4个半径为2的扇形面积：$4 × \pi = 4\pi$
一个半径为1的扇形面积：$\frac{90}{360} × \pi × 1^2 = \frac{1}{4} × \pi × 1 = \frac{\pi}{4}$
4个半径为1的扇形面积：$4 × \frac{\pi}{4} = \pi$
阴影部分面积 = 4个大扇形面积 - 4个小扇形面积 = $4\pi - \pi = 3\pi$
答案：$3\pi$

4. 一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯如图所示,纸杯开口圆的直径EF的长为10 cm,母线OE(OF)长为10 cm. 在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣,且FA= 2 cm,一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点,则此蚂蚁爬行的最短距离为$2\sqrt{41}$cm.
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答案： 【解析】：
本题考查圆锥的侧面展开图，利用弧长公式以及勾股定理求解。
将圆锥沿母线$OE$展开，得到扇形$OEF$，那么$E$点与$A$点的最短距离为展开图中线段$EA$的长度。
圆锥底面圆的直径$EF = 10cm$，则底面圆的周长$C=\pi×10 = 10\pi cm$，此周长即为侧面展开图扇形的弧长。
设扇形$OEF$的圆心角为$n^{\circ}$，已知扇形半径$R = 10cm$，根据弧长公式$l=\frac{n\pi R}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$R$为半径）可得：
$\frac{n\pi×10}{180}=10\pi$，
两边同时乘以$\frac{180}{10\pi}$，解得$n = 180$，即扇形$OEF$的圆心角为$180^{\circ}$。
已知$FA = 2cm$，则$OA=OF - FA=10 - 2 = 8cm$，$OE = 10cm$。
在$Rt\triangle EOA$中，$\angle EOA = 90^{\circ}$（因为扇形圆心角为$180^{\circ}$，$\angle EOF = 180^{\circ}$，$OE$与$OF$为半径，所以$\angle EOA$是直角），根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），可得：
$EA=\sqrt{OE^{2}+OA^{2}}=\sqrt{10^{2}+8^{2}}=\sqrt{100 + 64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}cm$。
【答案】：
$2\sqrt{41}$

5. 如图,有一直径为4的圆形铁皮,要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC,那么剪下的扇形ABC(阴影部分)的面积为$\frac{2\pi}{3}$；用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥,该圆锥的底面圆的半径r=$\frac{1}{3}$.
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答案： 【解析】：
本题考查扇形面积的计算以及圆锥的底面半径的计算。
首先求扇形$ABC$的面积。
已知圆的直径为$4$，
所以半径$R = \frac{4}{2}=2$。
因为扇形$ABC$的圆心角为$60^{\circ}$，
根据扇形面积公式$S = \frac{n\pi R^{2}}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为半径），
可得扇形$ABC$的面积为：
$S=\frac{60\pi×2^{2}}{360}$
$=\frac{60\pi×4}{360}$
$=\frac{240\pi}{360}$
$=\frac{2\pi}{3}$
然后求圆锥底面圆的半径$r$。
扇形的弧长公式为$l=\frac{n\pi R}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为半径），
将$n = 60^{\circ}$，$R = 2$代入可得：
$l=\frac{60\pi×2}{180}$
$=\frac{120\pi}{180}$
$=\frac{2\pi}{3}$
因为用此扇形铁皮围成一个圆锥，
所以扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，
即$2\pi r=\frac{2\pi}{3}$，
两边同时除以$2\pi$，
解得$r = \frac{1}{3}$。
【答案】：$\frac{2\pi}{3}$；$\frac{1}{3}$。