《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

2. 如图,在⊙O中,圆心角∠AOB= 2∠COD,则$\widehat{AB}与\widehat{CD}$的大小关系是(A).

A.$\widehat{AB}= 2\widehat{CD}$
B.$\widehat{AB}＞2\widehat{CD}$
C.$\widehat{AB}＜2\widehat{CD}$
D.不能确定

答案： 解：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。
∵∠AOB=2∠COD，
∴$\widehat{AB}=2\widehat{CD}$。
答案：A

3. 如图,AB是⊙O的直径,点C,D为⊙O上的两点,若BC= CD= DA= 4,则⊙O的半径长为(4).

A.2
B.4
C.6
D.8

答案： 【解析】：本题可根据在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，再结合圆的性质以及等边三角形的判定与性质来求解圆的半径。
已知$AB$是$\odot O$的直径，点$C$，$D$为$\odot O$上的两点，且$BC = CD = DA = 4$。
因为在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所以$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DA}$。
由于整个圆周角为$360^{\circ}$，且这三条弧所对的圆心角之和为圆周角，所以每条弧所对的圆心角$\angle BOC=\angle COD=\angle DOA = \frac{360^{\circ}}{3}=120^{\circ}$。
又因为$OB = OC = OD = OA$（同圆的半径相等），在$\triangle BOC$，$\triangle COD$，$\triangle DOA$中，$BC = CD = DA$，$OB = OC = OD = OA$，根据等腰三角形中“等边对等角”以及三角形内角和为$180^{\circ}$，可推出$\angle OBC=\angle OCB = \frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=30^{\circ}$，同理$\angle OCD=\angle ODC = 30^{\circ}$，$\angle OAD=\angle ODA = 30^{\circ}$。
进而可得$\angle BCA=\angle OCA+\angle OCB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角），且$\angle CBA = 60^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle CBA = 60^{\circ}$，$BC = 4$，因为$\sin\angle CBA=\frac{AC}{AB}$，$\cos\angle CBA=\frac{BC}{AB}$，所以$AB=\frac{BC}{\cos60^{\circ}}=\frac{4}{\frac{1}{2}} = 8$，则$\odot O$的半径$OA=\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}=4$。
【答案】：B。

4. 如图,在⊙O中,$\widehat{AB}= \widehat{AC}$,∠B= 70°,则∠A的度数为$40^{\circ}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系定理，即在一个圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等，同时利用三角形内角和定理来求解$\angle A$的度数。
已知在$\odot O$中，$\widehat{AB}=\widehat{AC}$，根据圆心角、弧、弦的关系定理，可得$AB = AC$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
在等腰$\triangle ABC$中，$\angle B = 70^{\circ}$，因为等腰三角形两底角相等，所以$\angle C = \angle B = 70^{\circ}$。
再根据三角形内角和定理，三角形内角和为$180^{\circ}$，则$\angle A=180^{\circ}-\angle B - \angle C$，将$\angle B = \angle C = 70^{\circ}$代入可得：$\angle A = 180^{\circ}-70^{\circ}-70^{\circ}=40^{\circ}$。
【答案】：
$40^{\circ}$

5. 已知⊙O的半径为3,如果弦AB= $3\sqrt{2}$,则弦AB所对的圆心角∠AOB= 90°.

答案： 解：连接OA，OB。
∵⊙O的半径为3，
∴OA=OB=3。
∵AB=3√2，
∴OA²+OB²=3²+3²=18，AB²=(3√2)²=18，
∴OA²+OB²=AB²，
∴△AOB是直角三角形，∠AOB=90°。
故答案为：90。

6. 如图,AB是⊙O的直径,$\widehat{BC}= \widehat{CD}= \widehat{DE}$,∠COD= 35°,则∠AOE的度数为75°.

答案： 解：
∵$\widehat{BC}=\widehat{CD}=\widehat{DE}$，∠COD=35°，
∴∠BOC=∠COD=∠DOE=35°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB=180°，
∴∠AOE=∠AOB - ∠BOC - ∠COD - ∠DOE=180° - 35° - 35° - 35°=75°。
75°

7. 如图,点A,B,C为⊙O上的三点,且有$\widehat{AB}= \widehat{BC}= \widehat{CA}$,连接AB,BC,CA.
(1)试确定△ABC的形状,并说明理由；
(2)若AB= a,求⊙O的半径.

答案： 【解析】：
(1)本题可根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，结合等边三角形的判定定理来确定$\triangle ABC$的形状。
已知$\widehat{AB}=\widehat{BC}=\widehat{CA}$，在同圆$\odot O$中，根据同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，可得$\angle AOB = \angle BOC = \angle COA$。
因为$\angle AOB+\angle BOC+\angle COA = 360^{\circ}$，所以$\angle AOB=\angle BOC=\angle COA = 120^{\circ}$。
又因为圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，所以$\angle BAC=\frac{1}{2}\angle BOC = 60^{\circ}$，$\angle ABC=\frac{1}{2}\angle AOC = 60^{\circ}$，$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB = 60^{\circ}$。
三个角都为$60^{\circ}$的三角形是等边三角形，所以$\triangle ABC$是等边三角形。
(2)本题可通过作辅助线，构造直角三角形，利用等边三角形的性质和三角函数来求解$\odot O$的半径。
过点$O$作$OD\perp AB$于点$D$，因为$OA = OB$（同圆的半径相等），$OD\perp AB$，根据等腰三角形三线合一的性质，可知$D$为$AB$中点，即$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}$。
又因为$\angle AOB = 120^{\circ}$，$OD\perp AB$，所以$\angle AOD=\frac{1}{2}\angle AOB = 60^{\circ}$，在$Rt\triangle AOD$中，$\sin\angle AOD=\frac{AD}{OA}$，即$\sin60^{\circ}=\frac{\frac{a}{2}}{OA}$。
因为$\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\frac{a}{2}}{OA}$，通过交叉相乘可得$OA=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，而$OA$就是$\odot O$的半径。
【答案】：
(1)$\triangle ABC$是等边三角形。理由：因为$\widehat{AB}=\widehat{BC}=\widehat{CA}$，所以$\angle AOB = \angle BOC = \angle COA$，又$\angle AOB+\angle BOC+\angle COA = 360^{\circ}$，故$\angle AOB=\angle BOC=\angle COA = 120^{\circ}$，根据圆周角定理可得$\angle BAC=\angle ABC=\angle ACB = 60^{\circ}$，所以$\triangle ABC$是等边三角形。
(2)过点$O$作$OD\perp AB$于点$D$，则$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}$，$\angle AOD = 60^{\circ}$，在$Rt\triangle AOD$中，$\sin\angle AOD=\frac{AD}{OA}$，即$\sin60^{\circ}=\frac{\frac{a}{2}}{OA}$，解得$OA=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，所以$\odot O$的半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}a$。