《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

4. 如图,在菱形$ABCD$中,$AB= 6$,$\angle B= 60^{\circ}$,矩形$PQNM$的四个顶点分别在菱形的四边上,$AP= AQ= CN= CM$,求矩形$PQNM$的最大面积.

答案： 解：设 $AP = AQ = CN = CM = x$，矩形 $PQNM$ 的面积为 $S$。
过点 $A$ 作 $AE \perp BC$ 于点 $E$，在菱形 $ABCD$ 中，$AB = 6$，$\angle B = 60°$，则 $AE = AB \cdot \sin 60° = 6 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$，$BE = AB \cdot \cos 60° = 3$，菱形的高为 $3\sqrt{3}$，边长均为 6。
在 $\triangle APQ$ 中，$AP = AQ = x$，$\angle PAQ = 120°$（菱形邻角互补，$\angle B = 60°$，则 $\angle BAD = 120°$），$PQ = 2x \cdot \sin 60° = \sqrt{3}x$（作 $AM \perp PQ$ 于 $M$，$\angle PAM = 60°$，$PM = x \cdot \sin 60°$，$PQ = 2PM$）。
在 $\triangle CMB$ 中，$CM = x$，$\angle C = 60°$，$BM = x \cdot \cos 60° = \frac{x}{2}$，同理 $CN$ 对应的边在 $CD$ 上，$MN$ 到 $BC$ 的距离为 $x \cdot \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}x$，则矩形 $PQNM$ 的高为 $AE - 2 × \frac{\sqrt{3}}{2}x = 3\sqrt{3} - \sqrt{3}x$。
$S = PQ ×$ 高 $= \sqrt{3}x (3\sqrt{3} - \sqrt{3}x) = \sqrt{3}x \cdot \sqrt{3}(3 - x) = 3x(3 - x) = -3x^2 + 9x$。
对于二次函数 $S = -3x^2 + 9x$，$a = -3 ＜ 0$，对称轴为 $x = -\frac{9}{2 × (-3)} = 1.5$，当 $x = 1.5$ 时，$S_{max} = -3(1.5)^2 + 9 × 1.5 = -3 × 2.25 + 13.5 = -6.75 + 13.5 = 6.75 = \frac{27}{4}$。
矩形 $PQNM$ 的最大面积为 $\frac{27}{4}$。

5. 水果店王阿姨打算到水果批发市场购进一种水果. 经过还价,每千克实际价格比原来少2元,因此原来买80 kg这种水果的钱,现在可以买88 kg.
(1)现在实际购进这种水果每千克多少元？
(2)王阿姨准备购进这种水果销售,若这种水果的销售量$y\ kg与销售单价x\ 元/kg$满足如图所示的一次函数关系.
①求$y与x$之间的函数解析式；
②请你帮王阿姨拿个主意,将这种水果的销售单价定为多少时,能获得最大利润？最大利润是多少？(利润＝销售收入－进货金额)

答案： 【解析】：
（1）考查一元一次方程的应用，
通过设现在实际购进这种水果每千克$a$元，根据原来买$80kg$这种水果的钱现在可以买$88kg$列出方程求解。
（2）①考查用待定系数法求一次函数解析式，
设$y$与$x$之间的函数解析式为$y = kx + b$，将图象上的两点$(25,165)$，$(35,55)$代入解析式，
得到方程组$\begin{cases}25k + b = 165,\\35k + b = 55.\end{cases}$解方程组求出$k$和$b$的值。
②考查二次函数的应用，
先根据利润$=$销售收入$-$进货金额列出利润关于销售单价$x$的二次函数解析式，
再根据二次函数的性质求最大值。
设利润为$W$元，已知进价为（$x - 2$）元/kg（由（1）可求出进价），
销售量$y$与$x$的函数关系已知，根据利润公式列出$W$关于$x$的二次函数，
将其化为顶点式，根据二次函数的性质求出最大值及此时的销售单价。
【答案】：
(1)设现在实际购进这种水果每千克$a$元，则原来购进这种水果每千克$(a + 2)$元。
由题意得$80(a + 2) = 88a$，
$80a+160=88a$
$8a=160$
解得$a = 20$。
答：现在实际购进这种水果每千克$20$元。
(2)①设$y$与$x$之间的函数解析式为$y = kx + b$。
把$(25,165)$，$(35,55)$代入$y = kx + b$，
得$\begin{cases}25k + b = 165, \\35k + b = 55. \end{cases}$
两式相减得：
$10k=-110$
解得$k = - 11$，
把$k = - 11$代入$25k + b = 165$，
得$25×(-11)+b=165$，
$-275+b=165$
解得$b = 440$。
所以$y$与$x$之间的函数解析式为$y = - 11x + 440$。
②设利润为$W$元。
由题意，进价为$20$元/kg，根据利润$=$销售收入$-$进货金额，
可得$W=(x - 20)y=(x - 20)( - 11x + 440)$
$=-11x^2+440x+220x-8800$
$=- 11x^{2} + 660x - 8800$
$=-11(x^2-60x)-8800$
$=-11(x^2-60x+900-900)-8800$
$=-11((x-30)^2-900)-8800$
$=-11(x - 30)^{2} + 9900 - 8800$
$=-11(x - 30)^{2} + 1100$
因为$-11\lt0$，所以二次函数图象开口向下，
当$x = 30$时，$W$有最大值，$W_{最大}=1100$。
答：将这种水果的销售单价定为$30$元/kg时，能获得最大利润，最大利润是$1100$元。