《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

1. 完成下列有关正多边形的计算：
|形状|中心角|半径|边长|边心距|周长|面积|
|正三角形|$120°$|6|$6\sqrt{3}$|3|$18\sqrt{3}$|$27\sqrt{3}$|
|正方形|$90°$|$3\sqrt{2}$|6|3|24|36|
|正六边形|$60°$|2|2|$\sqrt{3}$|12|$6\sqrt{3}$|

答案： 【解析】：本题主要考查正多边形的相关计算，包括中心角、边长、边心距、周长和面积的计算。
对于正三角形：
中心角：正多边形的中心角是由正多边形的边数决定的，公式为$\frac{360^\circ}{n}$，其中$n$为边数。
因此，正三角形的中心角为$\frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$。
边长：利用正弦定理，在正三角形中，边长$a$与半径$R$的关系为$a = 2R\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$。
代入$R = 6$和$n = 3$，得到边长$a = 2 × 6 \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 6\sqrt{3}$。
边心距：边心距$r$是正多边形中心到边的垂直距离，公式为$r = R\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)$。
代入$R = 6$和$n = 3$，得到边心距$r = 6\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 3$。
周长：正三角形的周长为$3a = 3 × 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$。
面积：正三角形的面积公式为$S = \frac{1}{2} × 周长 × r$。
代入周长和边心距，得到面积$S = \frac{1}{2} × 18\sqrt{3} × 3 = 27\sqrt{3}$。
对于正方形：
已知边长为6，则：
中心角：正方形的中心角为$\frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$。
半径：正方形的半径等于边长的一半乘以$\sqrt{2}$，
即$R = \frac{a}{2} × \sqrt{2} = \frac{6}{2} × \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$。
边心距：边心距等于半径的一半，即$r = \frac{R}{ \sqrt{2}} = \frac{6}{2} = 3$。
周长：正方形的周长为$4a = 4 × 6 = 24$。
面积：正方形的面积为$a^2 = 6^2 = 36$。
对于正六边形：
已知边心距为$\sqrt{3}$，则：
中心角：正六边形的中心角为$\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$。
半径：利用边心距和中心角的关系，可以求出半径$R = \frac{r}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)}$。
代入$r = \sqrt{3}$和$n = 6$，得到$R = \frac{\sqrt{3}}{\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)} = 2$。
边长：边长$a = R$，所以边长$a = 2$。
周长：正六边形的周长为$6a = 6 × 2 = 12$。
面积：正六边形的面积可以通过划分成6个等边三角形来计算，
每个等边三角形的面积为$\frac{1}{2} × a × r$，
所以正六边形的面积为$6 × \frac{1}{2} × 2 × \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$。
【答案】：| 形状 | 中心角 | 半径 | 边长 | 边心距 | 周长 | 面积 |
|------------|--------|------|------|--------|-------|---------|
| 正三角形 | $120^\circ$ | 6 | $6\sqrt{3}$ | 3 | $18\sqrt{3}$ | $27\sqrt{3}$ |
| 正方形 | $90^\circ$ | $3\sqrt{2}$ | 6 | 3 | 24 | 36 |
| 正六边形 | $60^\circ$ | 2 | 2 | $\sqrt{3}$ | 12 | $6\sqrt{3}$ |

2. 如图,$\odot O$的内接多边形周长为3,$\odot O$的外切多边形周长为3.4,则下列各数中与此圆的周长最接近的是(C).

A.$\sqrt{6}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{10}$
D.$\sqrt{17}$

答案： 【解析】：
本题可根据圆外切多边形周长与圆周长、圆内接多边形周长与圆周长的关系来求解。
设圆的半径为$r$，圆外切正多边形的边长为$a_{外}$，圆内接正多边形的边长为$a_{内}$。
对于圆外切正多边形，其周长$C_{外}=n× a_{外}$（$n$为边数），且$a_{外}$与圆的半径$r$存在一定关系，随着边数$n$的增多，圆外切正多边形的周长$C_{外}$会逐渐接近圆的周长$C = 2\pi r$，并且$C_{外}\gt C$。
对于圆内接正多边形，其周长$C_{内}=n× a_{内}$，随着边数$n$的增多，圆内接正多边形的周长$C_{内}$会逐渐接近圆的周长$C = 2\pi r$，并且$C_{内}\lt C$。
已知圆$O$的内接多边形周长$C_{内}=3$，外切多边形周长$C_{外}=3.4$，所以$3\lt 2\pi r\lt 3.4$。
分别计算各选项的值：
选项A：$\sqrt{6}\approx 2.45$，不满足$3\lt 2\pi r\lt 3.4$。
选项B：$\sqrt{8}\approx 2.83$，不满足$3\lt 2\pi r\lt 3.4$。
选项C：$\sqrt{10}\approx 3.16$，满足$3\lt 2\pi r\lt 3.4$。
选项D：$\sqrt{17}\approx 4.12$，不满足$3\lt 2\pi r\lt 3.4$。
【答案】：C

3. 圆内接正五边形ABCDE中,对角线AC和BD相交于点P,则$\angle APB$

的度数是( ).

A.$36°$
B.$60°$
C.$72°$
D.$108°$

答案： 解：连接AD。
∵ABCDE是圆内接正五边形，
∴AB=BC=CD=DE=EA，
∠ABC=∠BCD=(5-2)×180°/5=108°。
在△ABC中，AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=(180°-108°)/2=36°。
同理，在△BCD中，∠CBD=∠CDB=36°。
∵∠APB是△PBC的外角，
∴∠APB=∠BCA+∠CBD=36°+36°=72°。
答案：C