《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

1. 如果 $x= 4$ 是一元二次方程 $x^2-3x= a^2$ 的一个根,则常数 $a$ 的值是(B).
A.2
B.$\pm2$
C.$-2$
D.$-4$

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根的定义。
根据题目条件，$x=4$是方程$x^2 - 3x = a^2$的一个根，那么将$x=4$代入方程，应该满足方程。
即：
$4^2 - 3 × 4 = a^2$
$16 - 12 = a^2$
$a^2 = 4$
解得 $a = \pm 2$。
【答案】：
B. $\pm 2$

2. 下列方程是关于 $x$ 的一元二次方程的是(C).
A.$x^2+\frac{1}{x^2}= 0$
B.$ax^2+bx+c= 0$
C.$(x-1)(x+2)= 1$
D.$3x^2-2xy-5y^2= 0$

答案： 【解析】：
本题考察的是一元二次方程的定义。一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
A选项：$x^2+\frac{1}{x^2}= 0$，由于含有分式，所以不是整式方程，故A错误。
B选项：$ax^2+bx+c= 0$，当$a=0$时，方程退化为一次方程，所以不一定是一元二次方程，故B错误。
C选项：$(x-1)(x+2)= 1$，展开后得到$x^2+x-2=1$，即$x^2+x-3=0$，是一个一元二次方程，故C正确。
D选项：$3x^2-2xy-5y^2= 0$，含有两个未知数x和y，所以不是一元二次方程，故D错误。
【答案】：
C

3. 下表是代数式 $ax^2+bx$ 的值的情况,根据表格中的数据,可知方程 $ax^2+bx= 2$ 的根是(B).
| x | … | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
| $ax^2+bx$ | … | 12 | 6 | 2 | 0 | 0 | 2 | 6 | 12 | … |

A.$x_1= 0$,$x_2= 1$
B.$x_1= -1$,$x_2= 2$
C.$x_1= -2$,$x_2= 3$
D.$x_1= -3$,$x_2= 4$

答案： 解：方程$ax^2 + bx = 2$的根，即当$ax^2 + bx = 2$时$x$的值。
由表格可知，当$x = -1$时，$ax^2 + bx = 2$；当$x = 2$时，$ax^2 + bx = 2$。
所以方程$ax^2 + bx = 2$的根是$x_1 = -1$，$x_2 = 2$。
答案：B

4. 把方程 $2(x-3)^2= 5$ 化成一元二次方程的一般形式是$2x^2 - 12x + 13 = 0$.

答案： 解：$2(x-3)^2=5$
$2(x^2 - 6x + 9)=5$
$2x^2 - 12x + 18 = 5$
$2x^2 - 12x + 13 = 0$
$2x^2 - 12x + 13 = 0$

5. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m-2)x^2+3x+m^2-4= 0$ 的常数项为 0,则 $m$ 的值是$-2$.

答案： 【解析】：
题目考查了一元二次方程的常数项求值问题。
由于常数项为0，可以将常数项置为0，得到方程$m^2 - 4 = 0$。
同时，由于这是一个一元二次方程，所以系数$m-2$不能为0，即$m \neq 2$。
解方程$m^2 - 4 = 0$，得到$m = \pm 2$。
但由于$m \neq 2$，所以只取$m = -2$。
【答案】：
$m = -2$。

6. 已知 $x= 1$ 是一元二次方程 $x^2+mx+n= 0$ 的一个根,则 $m^2+2mn+n^2$ 的值为1.

答案： 解：因为$x = 1$是一元二次方程$x^2 + mx + n = 0$的一个根，
所以将$x = 1$代入方程得：$1^2 + m×1 + n = 0$，
即$1 + m + n = 0$，
所以$m + n = -1$。
又因为$m^2 + 2mn + n^2 = (m + n)^2$，
把$m + n = -1$代入得：$(-1)^2 = 1$。
故答案为$1$。

7. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项.
(1)$x^2-5= 4x$； (2)$4t^2= 13-2t$； (3)$y= 6y^2$.

答案： 【解析】：
本题要求将给定的方程化为一元二次方程的一般形式，并找出二次项系数、一次项系数及常数项。
一元二次方程的一般形式为：$ax^2 + bx + c = 0$，其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。
对于每个方程，我们需要通过移项和整理，使其符合一元二次方程的一般形式，并据此找出各项系数。
【答案】：
(1)解：
原方程：$x^2 - 5 = 4x$；
移项得：$x^2 - 4x - 5 = 0$；
二次项系数为1，一次项系数为-4，常数项为-5。
(2)解：
原方程：$4t^2 = 13 - 2t$；
移项得：$4t^2 + 2t - 13 = 0$；
二次项系数为4，一次项系数为2，常数项为-13。
(3)解：
原方程：$y = 6y^2$；
移项得：$6y^2 - y = 0$；
二次项系数为6，一次项系数为-1，常数项为0。

8. 已知 $x= 1$ 是一元二次方程 $ax^2+bx-40= 0$ 的一个解,且 $a\neq b$,求 $\frac{a^2-b^2}{2a-2b}$ 的值.

答案： 【解析】：
本题考察的是一元二次方程的解的性质以及代数表达式的化简。
首先，由于$x=1$是方程$ax^2+bx-40=0$的一个解，根据一元二次方程解的定义，可以将$x=1$代入方程，得到$a+b-40=0$，即$a+b=40$。
然后，需要求解的表达式是$\frac{a^2-b^2}{2a-2b}$，根据平方差公式，可以将其化简为$\frac{(a+b)(a-b)}{2(a-b)}$，由于$a \neq b$，可以约去$a-b$，得到$\frac{a+b}{2}$。
最后，将$a+b=40$代入$\frac{a+b}{2}$，即可得到答案。
【答案】：
解：
由于$x=1$是方程$ax^2+bx-40=0$的一个解，代入得：
$a\cdot1^2+b\cdot1-40=0$，
即$a+b-40=0$，
从上式得$a+b=40$，
接下来，我们考虑给定的表达式：
$\frac{a^2-b^2}{2a-2b}$，
利用平方差公式，我们可以将其写为：
$\frac{(a+b)(a-b)}{2(a-b)}$，
由于$a \neq b$，我们可以约去分子和分母的$a-b$，得到：
$\frac{a+b}{2}$，
将$a+b=40$代入上式，得：
$\frac{40}{2}=20$，
所以，$\frac{a^2-b^2}{2a-2b}$的值为$20$。