《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

14. 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90°$,$AC= BC= 3\sqrt{2}$,点$D是斜边AB$上一动点(点$D与点A$,$B$不重合),连接$CD$.
(1)线段$CD$的最小值是3.
(2)尺规作图：将$CD绕点C顺时针旋转90°得到CE$,连接$AE$,$DE$.(保留作图痕迹,不写作法)
(3)在(2)的条件下,点$D$运动的过程中,$AE+AD$的值是否发生变化？如果变化,请说明理由；如果不变,请求出它的值.

(1)3；
(2)图略；
(3)不变，6。

答案： 【解析】：本题主要考查了等腰直角三角形的性质、垂线段最短、旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识点。
（1）在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC = 3\sqrt{2}$，
根据勾股定理$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$，
可得$AB=\sqrt{(3\sqrt{2})^{2}+(3\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{18 + 18}=\sqrt{36}=6$。
因为点到直线的距离垂线段最短，当$CD\perp AB$时，$CD$最短。
此时$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，
即$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×3\sqrt{2}=\frac{1}{2}×6× CD$，
$CD = 3$，
所以线段$CD$的最小值是$3$。
（2）图略。（以$CD$为一边，$C$为顶点，用圆规作$90^{\circ}$角，在旋转方向上截取$CE = CD$）。
（3）点$D$运动的过程中，$AE + AD$的值不发生变化。
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle DCE = 90^{\circ}$，
所以$\angle ACD+\angle BCD=\angle BCE+\angle BCD$，
即$\angle ACD=\angle BCE$。
又因为$AC = BC$，$CD = CE$，
根据$SAS$（边角边）全等判定定理，可得$\triangle ACD\cong\triangle BCE$。
所以$AD = BE$，则$AE + AD = AE + BE$。
当$A$，$B$，$E$三点共线时，$AE + BE$的值最小，即$AB$的长，
由（1）可知$AB = 6$，
所以$AE + AD$的值为$6$。
【答案】：
(1)$3$；
(2)图略；
(3)不变，$6$。

15. 如图,在矩形$ABCD$中,$BC= 2AB$,点$G为边AD$上的一个动点,以$AB为边长构造等边三角形ABE$.
(1)如图①,点$G为边AD$的中点,连接$BG$,尺规作图：画出$BG绕点B顺时针旋转60^\circ后得到的线段BF$,并连接$GF$；
(2)如图②,点$G为边AD$上的动点,$BG绕点B顺时针旋转60^\circ后得到BM$,连接$EM$,求证：$\angle BEM= 90^\circ$；
(3)在(2)的条件下,连接线段$CM$,当线段$CM$的长度最小时,求$\angle GMC$的度数.

答案： 【解析】：
(1)根据题意，使用尺规作图，以B为圆心，BG为半径画弧，再以G为圆心，GB为半径画弧，两弧交于点F，连接BF和GF，使得$\angle FBG = 60^\circ$。
综上，图略。
(2)证明：
连接GM，
因为$\triangle ABE$是等边三角形，所以$AB = BE$，$\angle ABE = 60^\circ$。
又因为$\angle MBG = 60^\circ$，所以$\angle ABG = \angle EBM$。
由于$BG = BM$（旋转得到），在$\triangle ABG$和$\triangle EBM$中，
$\begin{aligned}AB &= EB, \\\angle ABG &= \angle EBM, \\BG &= BM.\end{aligned}$
所以$\triangle ABG \cong \triangle EBM (SAS)$，
因此，$\angle BEM = \angle A = 90^\circ$。
(3)由
(2)知$\triangle ABG \cong \triangle EBM$，
所以，$AG = EM$，
因为$BC = 2AB$，$AB = AE = BE$，
所以，$BC = 2AE$，
又因为$AG = DH = EM$，且$AD = BC$，
所以，$AD = 2AG$，即$DH = EM = AG$，
所以，$AE + EM = AD - AG$，即$AE + EM = AH - DH$，
所以，$HM = AM + EM = AH + DH = AD$，即$HM = BC$，
又因为$HM // BC$，
所以，四边形BCHM是平行四边形，
所以，$CM = BH$，
当$BH \perp AD$时，$BH$有最小值，即$CM$有最小值，
此时，在直角三角形$\triangle ABH$中，$\angle BAH = 90^\circ - \angle ABH = 30^\circ$，
所以，$\angle GMC = 30^\circ$。
【答案】：
(1)图略；
(2)证明见解析；
(3)$30^\circ$。