《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

3. 如图,AB是⊙O的直径,∠ACD= 15°,则∠BAD的度数为(75°).

A.75°
B.72°
C.70°
D.65°
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答案： 【解析】：本题可根据圆周角定理及其推论来求解$\angle BAD$的度数。
步骤一：明确圆周角定理及其推论
圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论：直径所对的圆周角是直角。
步骤二：分析$\angle ADB$的度数
因为$AB$是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角是直角这一推论，可知$\angle ADB = 90^{\circ}$。
步骤三：分析$\angle ABD$与$\angle ACD$的关系
由于$\angle ABD$和$\angle ACD$都是弧$AD$所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可得$\angle ABD=\angle ACD = 15^{\circ}$。
步骤四：计算$\angle BAD$的度数
在$\triangle ABD$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，已知$\angle ADB = 90^{\circ}$，$\angle ABD = 15^{\circ}$，则$\angle BAD=180^{\circ}-\angle ADB - \angle ABD=180^{\circ}-90^{\circ}-15^{\circ}=75^{\circ}$。
【答案】：A

4. 如图,CD是⊙O的直径,点E在⊙O上,点A在线段DC的延长线上,∠EOD= 45°,AE交⊙O于点B,且AB= OD,则∠EAO的度数为(B).

A.10°
B.15°
C.20°
D.25°
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答案： 【解析】：本题可通过连接$OB$，利用圆的性质以及等腰三角形的性质来求解$\angle EAO$的度数。
连接$OB$，因为$OB = OE = OD$（圆的半径相等），$AB = OD$，所以$AB = OB$。
在$\triangle OBE$中，$OB = OE$，所以$\angle OBE = \angle OEB$。
在$\triangle ODE$中，$OD = OE$，$\angle EOD = 45^{\circ}$，根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle OED=\angle ODE=\frac{1}{2}×(180^{\circ} - 45^{\circ}) = 67.5^{\circ}$。
因为$\angle OBE = \angle OEB$，且$\angle OEB + \angle OED = 180^{\circ}$，所以$\angle OBE=\angle OEB = 180^{\circ} - 67.5^{\circ}= 22.5^{\circ}$。
又因为$AB = OB$，所以$\angle A = \angle AOB$。
在$\triangle OBE$中，$\angle OBE$是$\triangle ABO$的一个外角，根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和，可得$\angle OBE=\angle A + \angle AOB$，因为$\angle A = \angle AOB$，所以$\angle A=\frac{1}{2}\angle OBE$。
将$\angle OBE = 22.5^{\circ}÷(2 + 1)= 15^{\circ}$，即$\angle EAO = 15^{\circ}$。
【答案】：B

5. 如图,已知AB= AC= AD,∠CBD= 2∠BDC,∠BAC= 44°,则∠CAD的度数为(88°).

A.68°
B.88°
C.90°
D.112°

答案： 【解析】：本题可根据等腰三角形的性质以及圆周角定理来求解$\angle CAD$的度数。
步骤一：分析已知条件
已知$AB = AC = AD$，可知点$B$、$C$、$D$在以点$A$为圆心，$AB$为半径的圆上。
步骤二：利用圆周角定理得到相关角的关系
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半。
在圆$A$中，$\angle BAC$是弧$BC$所对的圆心角，$\angle BDC$是弧$BC$所对的圆周角，所以$\angle BAC = 2\angle BDC$。
已知$\angle BAC = 44^{\circ}$，则$\angle BDC=\frac{1}{2}\angle BAC = \frac{1}{2}×44^{\circ}= 22^{\circ}$。
步骤三：求出$\angle CBD$的度数
因为$\angle CBD = 2\angle BDC$，$\angle BDC = 22^{\circ}$，所以$\angle CBD = 2×22^{\circ}= 44^{\circ}$。
步骤四：求出$\angle BCD$的度数
在$\triangle BCD$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle BCD = 180^{\circ}-\angle CBD - \angle BDC = 180^{\circ}- 44^{\circ}- 22^{\circ}= 114^{\circ}$。
步骤五：求出$\angle BAD$的度数
因为$AB = AD$，所以$\triangle ABD$是等腰三角形，则$\angle ABD = \angle ADB$。
又因为$\angle ADB=\angle BDC = 22^{\circ}$，所以$\angle ABD = 22^{\circ}$。
在$\triangle ABD$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle BAD = 180^{\circ}- 2×22^{\circ}= 136^{\circ}$。
步骤六：求出$\angle CAD$的度数
因为$\angle BAC = 44^{\circ}$，$\angle BAD = 136^{\circ}$，所以$\angle CAD=\angle BAD - \angle BAC = 136^{\circ}- 44^{\circ}= 88^{\circ}$。
【答案】：B

6. 点P在⊙O内,且OP= 6,已知⊙O的半径为10,则过点P的弦的长度m的取值范围为16≤m≤20.

答案： 解：过点P的弦中，垂直于OP的弦最短，直径最长。
设过点P的弦为AB，且AB⊥OP于点P，连接OA。
在Rt△OAP中，OA=10，OP=6，
由勾股定理得：AP=√(OA²-OP²)=√(10²-6²)=8，
则AB=2AP=16。
直径长为2×10=20。
所以m的取值范围为16≤m≤20。

7. 已知,四边形ABCD内接于⊙O,且AD//BC.
(1)求证：AC= BD；
(2)如图,若⊙O的半径为2√5,且AD= 4,AB= 8,求四边形ABCD的面积.
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答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180°。
∵AD//BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，∠ADC+∠BCD=180°。
∴∠ABC=∠BCD，∠BAD=∠ADC。
∴弧ADC=弧BAD，弧ABC=弧BCD。
∴弧AB=弧CD，弧AD=弧BC。
∴AC=BD。
(2)解：过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，连接OA，OB，设AD、BC间距离为h。
∵AD=4，OE⊥AD，
∴AE=2，OE=√(OA²-AE²)=√[(2√5)²-2²]=4。
设BC=2x，OF=√(OB²-x²)=√(20-x²)。
∵AD//BC，
∴h=OE+OF=4+√(20-x²)。
由
(1)知AD=BC，
∴BC=4，x=2，OF=4，h=8。
S=1/2×(AD+BC)×h=1/2×(4+4)×8=32。
答案：
(1)证明见上；
(2)32。