《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

2. 在△ABC中,D,E分别是△ABC两边的中点,如果$\overset{\frown}{DE}$上的所有点都在△ABC的内部或边上,则称$\overset{\frown}{DE}$为△ABC的中内弧. 例如,图①中$\overset{\frown}{DE}$是△ABC的一条中内弧.
(1)如图②,在Rt△ABC中,AB= AC= 2√2,D,E分别是AB,AC的中点. 画出△ABC的最长的中内弧$\overset{\frown}{DE}$,并直接写出此时$\overset{\frown}{DE}$的长.
(2)在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),B(0,0),C(4t,0)(t＞0),在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点.
a. 若t= 1/2,求△ABC的中内弧$\overset{\frown}{DE}$所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；
b. 若在△ABC中存在一条中内弧$\overset{\frown}{DE}$,使得$\overset{\frown}{DE}$所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上,直接写出t的取值范围.
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答案： 【解析】：
（1）本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，弧长公式，弧的定义，
在$Rt\bigtriangleup ABC$中，$AB=AC=2\sqrt{2}$，$D$、$E$分别是$AB$、$AC$的中点，
$\therefore DE=\frac{1}{2}BC=2$，$DE// BC$，
$\because\angle A=90°$，
$\therefore$当$\overset{\frown}{DE}$为$\bigtriangleup ABC$的最长的中内弧时，$\overset{\frown}{DE}$所在圆的圆心在$DE$的垂直平分线上，
即$AC$的中点$E$为$\overset{\frown}{DE}$所在圆的圆心，半径为$AE$的长，
$\therefore\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{90×\pi×\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}\pi}{2}$。
（2）本题考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，点与圆的位置关系，
a.点$A(0,2)$，$B(0,0)$，$C(2,0)$，
$\because D$、$E$分别是$AB$、$AC$的中点，
$\therefore DE=\frac{1}{2}BC=1$，点$D(0,1)$，
设$\overset{\frown}{DE}$所在圆的圆心为$P(x,y)$，半径为$R$，
$\because$圆心$P$在$DE$的垂直平分线上，
$\therefore x=1/2$，
当圆心$P$在$AB$上时，$P(1/2,1)$，此时$R=1/2$，$y=1$，
当圆心$P$在$BC$上时，$P(1/2,0)$，此时$R=\sqrt{{(\frac{1}{2})}^2+1^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$y=0$，
$\because\overset{\frown}{DE}$上的所有点都在$\bigtriangleup ABC$的内部或边上，
$\therefore y$的取值范围是$0\leq y\leq1$，
b.点$A(0,2)$，$B(0,0)$，$C(4t,0)(t＞0)$，$D$、$E$分别是$AB$、$AC$的中点，
$\therefore DE=\frac{1}{2}BC=2t$，点$D(0,1)$，
设$\overset{\frown}{DE}$所在圆的圆心为$P(x,y)$，半径为$R$，
$\because$圆心$P$在$DE$的垂直平分线上，
$\therefore x=t$，
当圆心$P$在$AB$上时，$P(t,1)$，此时$R=t$，
当圆心$P$在$BC$上时，$P(t,0)$，此时$R=\sqrt{t^2+1^2}$，
$\because\overset{\frown}{DE}$上的所有点都在$\bigtriangleup ABC$的内部或边上，
$\therefore\sqrt{t^2+1}\leq2t$，
$\therefore t\geq\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】：
（1）$\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{\sqrt{2}\pi}{2}$；
（2）a.$0\leq y\leq1$；b.$t\geq\frac{\sqrt{3}}{3}$。