《2025年阳光学业评价九年级数学上册人教版》

1. 阅读材料：为解方程 $(x^2 - 1)^2 - 5(x^2 - 1) + 4 = 0$,我们可以将 $x^2 - 1$ 看作一个整体,然后设 $x^2 - 1 = y$①,那么原方程可化为 $y^2 - 5y + 4 = 0$,解得 $y_1 = 1$,$y_2 = 4$. 当 $y = 1$ 时,$x^2 - 1 = 1$,则 $x^2 = 2$,即 $x = \pm \sqrt{2}$；当 $y = 4$ 时,$x^2 - 1 = 4$,则 $x^2 = 5$,即 $x = \pm \sqrt{5}$,故原方程的解为 $x_1 = \sqrt{2}$,$x_2 = -\sqrt{2}$,$x_3 = \sqrt{5}$,$x_4 = -\sqrt{5}$.
解答问题：
(1)上述解题过程,在由原方程得到方程①的过程中,利用 换元 法达到了解方程的目的,体现了转化的数学思想；
(2)请利用以上知识解方程 $x^4 - x^2 - 6 = 0$.
$x^4 - x^2 - 6 = 0$的解为$x_1 = \sqrt{3}$，$x_2 = -\sqrt{3}$。

答案： 【解析】：
(1)在由原方程得到方程①的过程中，通过设$x^2 - 1 = y$，将原方程中的$x^2 - 1$看作一个整体进行替换，从而简化了方程，这种方法称为换元法。
(2)对于方程$x^4 - x^2 - 6 = 0$，我们可以设$x^2 = y$，这样原方程就可以化为$y^2 - y - 6 = 0$。
解这个一元二次方程，我们得到：
$(y - 3)(y + 2) = 0$
$\Rightarrow y_1 = 3, y_2 = -2$
当$y = 3$时，代入$x^2 = y$得$x^2 = 3$，解得$x = \pm \sqrt{3}$。
当$y = -2$时，代入$x^2 = y$得$x^2 = -2$，由于平方数不能为负数，所以这个方程无实数解。
【答案】：
(1)换元
(2)$x^4 - x^2 - 6 = 0$的解为$x_1 = \sqrt{3}$，$x_2 = -\sqrt{3}$。

2. 已知关于 $x$ 的方程 $x^2 + (m + 3)x + m + 1 = 0$.
(1)求证：无论 $m$ 取何值,原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若 $x_1$,$x_2$ 是原方程的根,且 $|x_1 - x_2| = 2\sqrt{2}$,求 $m$ 的值和方程的根.

答案：
(1)证明：$\Delta=(m+3)^2-4(m+1)=m^2+6m+9-4m-4=m^2+2m+5=(m+1)^2+4$，
$\because (m+1)^2\geq0$，$\therefore (m+1)^2+4＞0$，即$\Delta＞0$，
$\therefore$无论$m$取何值，原方程总有两个不相等的实数根。
(2)解：$\because x_1$，$x_2$是原方程的根，
$\therefore x_1+x_2=-(m+3)$，$x_1x_2=m+1$，
$\because |x_1 - x_2| = 2\sqrt{2}$，
$\therefore (x_1 - x_2)^2 = 8$，
$\because (x_1 - x_2)^2=(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，
$\therefore [-(m + 3)]^2 - 4(m + 1)=8$，
整理得$m^2 + 6m + 9 - 4m - 4 - 8=0$，
$m^2 + 2m - 3=0$，
解得$m_1=-3$，$m_2=1$。
当$m=-3$时，原方程为$x^2 + 0x + (-3) + 1=0$，即$x^2 - 2=0$，
解得$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$。
当$m=1$时，原方程为$x^2 + (1 + 3)x + 1 + 1=0$，即$x^2 + 4x + 2=0$，
解得$x=\frac{-4\pm\sqrt{16 - 8}}{2}=\frac{-4\pm2\sqrt{2}}{2}=-2\pm\sqrt{2}$，
即$x_1=-2 + \sqrt{2}$，$x_2=-2 - \sqrt{2}$。
综上，$m$的值为$-3$时，方程的根为$\sqrt{2}$，$-\sqrt{2}$；$m$的值为$1$时，方程的根为$-2 + \sqrt{2}$，$-2 - \sqrt{2}$。

3. 已知关于 $x$ 的方程 $x^2 + (2a + 1)x + a^2 + 2 = 0$ 有两个不相等的实数根,试判断直线 $y = (2a - 3)x - 4a + 7$ 能否通过点 $A(-2, 4)$,并说明理由.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根的判别式以及一次函数图像上点的坐标特征。
首先，根据题目条件，方程 $x^2 + (2a + 1)x + a^2 + 2 = 0$ 有两个不相等的实数根。
根据一元二次方程的根的判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$，
我们有 $\Delta = (2a + 1)^2 - 4(a^2 + 2) ＞ 0$。
展开并化简得：$4a^2 + 4a + 1 - 4a^2 - 8 ＞ 0$，
即 $4a - 7 ＞ 0$，
解得 $a ＞ \frac{7}{4}$。
接下来，我们需要判断直线 $y = (2a - 3)x - 4a + 7$ 能否通过点 $A(-2, 4)$。
将点 $A(-2, 4)$ 代入直线方程，得：
$4 = (2a - 3)(-2) - 4a + 7$
$4 = -4a + 6 - 4a + 7$
$4 = -8a + 13$
$8a = 9$
$a = \frac{9}{8}$
由于 $a = \frac{9}{8} ＜ \frac{7}{4}$，这与我们先前求得的 $a ＞ \frac{7}{4}$ 矛盾。
因此，直线 $y = (2a - 3)x - 4a + 7$ 不能通过点 $A(-2, 4)$。
【答案】：
直线 $y = (2a - 3)x - 4a + 7$ 不能通过点 $A(-2, 4)$，因为满足该直线通过点 $A$ 的 $a$ 值与满足方程 $x^2 + (2a + 1)x + a^2 + 2 = 0$ 有两个不相等实数根的 $a$ 值条件矛盾。