《2025年经纶学典课时作业七年级数学上册苏科版》

11. 观察下列等式:
$1×3+1= 4= 2^{2}$;
$2×4+1= 9= 3^{2}$;
$3×5+1= 16= 4^{2}$;
$4×6+1= 25= 5^{2}$,…$$.
(1)请根据你发现的规律填空:
$6×8+1=$(7)$^{2}$
(2)用含n的等式表示上面的规律(n为正整数):$n(n+2)+1=(n+1)^2$;
(3)用找到的规律计算:
$(1+\frac{1}{1×3})×(1+\frac{1}{2×4})×(1+\frac{1}{3×5})×(1+\frac{1}{4×6})×…×(1+\frac{1}{11×13})$.
原式$=\frac{1×3+1}{1×3}×\frac{2×4+1}{2×4}×\frac{3×5+1}{3×5}×\frac{4×6+1}{4×6}×…×\frac{11×13+1}{11×13}=\frac{2^2}{1×3}×\frac{3^2}{2×4}×\frac{4^2}{3×5}×\frac{5^2}{4×6}×…×\frac{12^2}{11×13}=2×\frac{12}{13}=\frac{24}{13}$.

答案： （1）7 （2）$n(n+2)+1=(n+1)^2$
（3）原式$=\frac{1×3+1}{1×3}×\frac{2×4+1}{2×4}×\frac{3×5+1}{3×5}×\frac{4×6+1}{4×6}×…×\frac{11×13+1}{11×13}=\frac{2^2}{1×3}×\frac{3^2}{2×4}×\frac{4^2}{3×5}×\frac{5^2}{4×6}×…×\frac{12^2}{11×13}=2×\frac{12}{13}=\frac{24}{13}$.

12. 分形的概念是由数学家本华·曼德博提出的.如图是分形的一种,第1个图案有2个三角形,第2个图案有4个三角形,第3个图案有8个三角形,第4个图案有16个三角形,…$$,按此规律分形得到第n个图案中三角形的个数是 (D)

A.2n
B.2n+1
C.$2^{n}+1$
D.$2^{n}$

答案： D

13.(山西中考)如图是一组有规律的图案,它们是由边长相等的三角形组合而成,第1个图案有4个三角形,第2个图案有7个三角形,第3个图案有10个三角形……$$按此规律摆下去,第n个图案有（$3n+1$）个三角形(用含n的代数式表示).

答案： （$3n+1$）

14. 用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片,按下图方式拼正方形.

第①个图形有1个小正方形;
第②个图形有1+3= 4(个)小正方形;
第③个图形有1+3+5= 9(个)小正方形;
第④个图形有1+3+5+7= 16(个)小正方形;
……(1)根据上面的发现我们可以猜想:1+3+5+7+…+(2n-1)=$n^2$(用含n的代数式表示).(2)请根据你的发现计算:①1+3+5+7+…+99;②101+103+105+…+199.
（2）①$1+3+5+7+…+99=(\frac{1+99}{2})^2=50^2=2500$.
②$101+103+105+…+199=1+3+5+7+…+199-(1+3+5+7+…+99)=(\frac{1+199}{2})^2-(\frac{1+99}{2})^2=100^2-50^2=10000-2500=7500$.

答案： （1）$n^2$
（2）①$1+3+5+7+…+99=(\frac{1+99}{2})^2=50^2=2500$.
②$101+103+105+…+199=1+3+5+7+…+199-(1+3+5+7+…+99)=(\frac{1+199}{2})^2-(\frac{1+99}{2})^2=100^2-50^2=10000-2500=7500$.