《2025年经纶学典课时作业七年级数学上册苏科版》

10. 已知线段$AB= 5cm$,延长 AB 至 C,使$AC= 7cm$,在线段 AB 的反向延长线上取点 D,使$BD= 4BC$,设线段 CD 的中点为 E,求$AE:CD$.

答案：
如图.

因为 AB=5cm,AC=7cm,所以 BC=AC−AB=2cm,所以 BD=4BC=8cm,所以 CD=BD+BC=10cm,AD=BD−AB=3cm.由 E 为线段 CD 的中点,得 DE=$\frac{1}{2}$CD=5cm,所以 AE=DE−AD=2cm，所以 AE:CD=2:10=1:5.

11. (1)如图①,已知$∠AOB(∠AOB＜180^{\circ })$内部有三条射线 OE,OC,OF,OE 平分$∠BOC$,OF 平分$∠AOC$.① 若$∠AOC= 30^{\circ },∠BOC= 60^{\circ }$,则$∠EOF= $45°;
② 若$∠AOC= α,∠BOC= β$,则$∠EOF= $$\frac{\alpha+\beta}{2}$;
③若$∠AOB= θ$,你能猜想出$∠EOF$与θ的关系吗？请说明理由.
③∠EOF=$\frac{1}{2}\theta$.理由:因为 OE 平分∠BOC,OF 平分∠AOC,所以∠EOC=$\frac{1}{2}$∠BOC,∠COF=$\frac{1}{2}$∠AOC.所以∠EOF=∠EOC+∠COF=$\frac{1}{2}$∠BOC+$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$(∠BOC+∠AOC)=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}\theta$.
(2)如图②,若射线 OC 在$∠AOB(∠AOB＜180^{\circ })$的外部,且$∠AOB= θ$,OE 平分$∠BOC$,OF 平分$∠AOC$,则$∠EOF$与θ的关系是什么？请说明理由.
∠EOF=$\frac{1}{2}\theta$.
理由:因为 OE 平分∠BOC,OF 平分∠AOC,所以∠EOC=$\frac{1}{2}$∠BOC,∠COF=$\frac{1}{2}$∠AOC.∠EOF=∠COF−∠EOC=$\frac{1}{2}$∠AOC−$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$(∠AOC−∠BOC)=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}\theta$.

答案：
(1)①45° ②$\frac{\alpha+\beta}{2}$
③∠EOF=$\frac{1}{2}\theta$.理由:因为 OE 平分∠BOC,OF 平分∠AOC,所以∠EOC=$\frac{1}{2}$∠BOC,∠COF=$\frac{1}{2}$∠AOC.所以∠EOF=∠EOC+∠COF=$\frac{1}{2}$∠BOC+$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$(∠BOC+∠AOC)=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}\theta$.
(2)∠EOF=$\frac{1}{2}\theta$.
理由:因为 OE 平分∠BOC,OF 平分∠AOC,所以∠EOC=$\frac{1}{2}$∠BOC,∠COF=$\frac{1}{2}$∠AOC.∠EOF=∠COF−∠EOC=$\frac{1}{2}$∠AOC−$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$(∠AOC−∠BOC)=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}\theta$.

12. 如图,线段$AB= 24$,动点 P 从点 A 出发,以2 个单位长度/秒的速度沿射线 AB 运动,M为 AP 的中点.(1)出发多少秒时,$PB= 2AM$?
(2)当点 P 在线段 AB 上运动时,试说明$2BM-BP$为定值.
(3)当点 P 在线段 AB 的延长线上运动时,N为 BP 的中点,下列两个结论:①MN 的长度不变;②$MN+PN$的值不变.选出一个正确的结论,并求出其值.

答案：
(1)设出发 x 秒时,PB=2AM.当点 P 在点 B 左边时,PA=2x,PB=24−2x,AM=x,由题意,得 24−2x=2x,解得 x=6;当点 P 在点 B 右边时,PA=2x,PB=2x−24,AM=x,由题意,得 2x−24=2x,方程无解.综上可得出发 6 秒时,PB=2AM.
(2)因为 AM=x,BM=24−x,PB=24−2x,所以 2BM−BP=2(24−x)−(24−2x)=24(定值).
(3)选①.因为 PA=2x,AM=PM=x,PB=2x−24,PN=$\frac{1}{2}$PB=x−12,所以①MN=PM−PN=x−(x−12)=12(定值);②MN+PN=12+x−12=x(变化).故正确的结论是①,其值为 12.