《2025年点拨训练八年级数学上册沪科版安徽专版》

在直角三角形中,如果一个锐角等于 $30^{\circ}$,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
1星题 基础题
知识点 含 $30^{\circ}$ 角的直角三角形的性质

答案： 一半

1. [2025·芜湖月考] 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle A = 30^{\circ}$,$BC = 3.5cm$,则 $AB$ 等于(D)

A.$3.5cm$
B.$4cm$
C.$6cm$
D.$7cm$

答案： D

2. 如图是某商场一楼与二楼之间的电梯示意图. $\angle ABC = 150^{\circ}$,$BC$ 的长是 $10m$,则乘电梯从点 $B$ 到点 $C$ 上升的高度 $h$ 是(D)

A.$7.5m$
B.$5\sqrt{3}m$
C.$10m$
D.$5m$

答案： D

3. [2025 年 1 月南通期末] 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$\angle C = 30^{\circ}$,$AD$ 是高,$BD = 1$,则 $CD$ 的长度为3.

答案： 3

4. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$D$ 为 $AB$ 的中点,$DE \perp AC$ 于点 $E$,$\angle A = 30^{\circ}$,$AB = 8$,试求 $DE$ 的长度.

答案： 解：DE=2.

5. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle A = \angle C = 75^{\circ}$,$AB = 6$,则 $\triangle ABC$ 的面积为(A)

A.$9$
B.$12$
C.$15$
D.$18$

答案： A

6. [2025 年 1 月亳州期末] 如图,已知 $\angle ABC = 60^{\circ}$,点 $P$ 在边 $AB$ 上,$BP = a$,点 $E$,$F$ 在边 $BC$ 上,$PE = PF$,若 $FE = b$,则 $BE$ 的长为$\frac{1}{2}(a-b)$.(用含 $a$,$b$ 的代数式表示)

答案： $\frac{1}{2}(a-b)$

7. 如图,有一轮船由东向西航行,在 $A$ 处测得西偏北 $15^{\circ}$ 方向上有一灯塔 $P$,继续航行 $20$ 海里后到达 $B$ 处,此时又测得灯塔 $P$ 在西偏北 $30^{\circ}$ 方向上,若轮船航向不变,则灯塔与轮船之间的最近距离是10海里.

答案： 10

8. 如图,在等边三角形 $ABC$ 中,$AE = CD$,$AD$ 与 $BE$ 相交于点 $P$,$BQ \perp AD$ 于点 $Q$. 求证：$BP = 2PQ$.

证明：
∵△ABC 为等边三角形，
∴AC=AB，∠C=∠BAC=60°.
又
∵CD=AE，
∴△ACD≌△BAE(SAS).
∴∠CAD=∠ABE.
∵∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，
∴∠ABE+∠BAP=60°.
∴∠BPQ=60°.
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°.
∴∠PBQ=90°-∠BPQ=30°.
∴BP=2PQ.

答案： 证明：
∵△ABC 为等边三角形，
∴AC=AB，∠C=∠BAC=60°.
又
∵CD=AE，
∴△ACD≌△BAE(SAS).
∴∠CAD=∠ABE.
∵∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，
∴∠ABE+∠BAP=60°.
∴∠BPQ=60°.
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°.
∴∠PBQ=90°-∠BPQ=30°.
∴BP=2PQ.