《2025年点拨训练八年级数学上册沪科版安徽专版》

7. [2025年1月六安期末]函数$y = -x + b的图象与x$轴、$y轴分别交于点A$、$B$,且三角形$AOB$的面积为8,则$b$的值为$\pm 4$。

答案： 【解析】：
本题考查的是一次函数图象与坐标轴的交点以及三角形面积的计算。
首先，找出函数$y = -x + b$与$x$轴和$y$轴的交点。
当$x=0$时，$y=b$，所以点$B$的坐标为$(0,b)$。
当$y=0$时，$x=b$，所以点$A$的坐标为$(b,0)$。
由于$A$在$x$轴上，$B$在$y$轴上，所以$OA$的长度为$|b|$，$OB$的长度也为$|b|$。
三角形$AOB$的面积为$\frac{1}{2} × OA × OB = \frac{1}{2}b^2$。
根据题目，这个面积等于8，即$\frac{1}{2}b^2 = 8$。
解这个方程，我们得到$b^2 = 16$，所以$b = \pm 4$。
【答案】：
$b = \pm 4$

8. 分别在同一直角坐标系中画出下列两组函数的图象,并指出每组中三个函数的图象有什么关系。
(1)$y = x - 1$,$y = x$,$y = x + 1$；
(2)$y = -x - 2$,$y = -x$,$y = -x + 2$。

答案：
【解析】：
本题考查的是一次函数的图像及性质和图像的平移。
对于函数$y=kx+b$，当$k$相同，$b$不同时，图像是平行的直线，
当两个一次函数的$k$值相同，$b$值不同时，它们的图像是平行的，具体地说，对于第一组函数$y=x-1$，$y=x$，$y=x+1$，由于斜率$k=1$相同，而截距$b$不同，因此这三个函数的图像是三条互相平行的直线，
同理，第二组函数$y=-x-2$，$y=-x$，$y=-x+2$的斜率$k=-1$也相同，而截距$b$不同，所以这三个函数的图像也是三条互相平行的直线，
通过列表、描点、连线，我们可以画出这些函数的图像，并更直观地观察到它们之间的平行关系。
【答案】：
(1)函数$y=x-1$，$y=x$，$y=x+1$的图像是三条互相平行的直线；
(2)函数$y=-x-2$，$y=-x$，$y=-x+2$的图像是三条互相平行的直线。

9. 已知一次函数$y = (k - 2)x - 3k + 12$。
(1)当$k$为何值时,函数图象经过原点？
(2)无论$k$取何值,该一次函数的图象始终过一个定点,这个定点的坐标为(3, 6)；
(3)当$k$为何值时,该函数图象平行于直线$y = -2x$？

答案： 【解析】：
本题主要考查一次函数的性质，包括函数图象经过某点、函数图象始终过定点以及函数图象平行于某直线的情况。
(1) 要使函数图象经过原点，即当$x=0$时，$y=0$。
将$x=0, y=0$，代入$y = (k - 2)x - 3k + 12$，得到：
$0 = (k - 2) × 0 - 3k + 12$
$0 = -3k + 12$
解这个方程，我们得到$k = 4$。
(2) 要找出无论$k$取何值，函数图象始终过的定点，我们可以将函数方程整理为：
$y = (k - 2)x - 3k + 12$
$y = kx - 2x - 3k + 12$
$y = k(x - 3) - 2x + 12$
当$x = 3$时，$y = k(3 - 3) - 2 × 3 + 12 = 6$，
所以，无论$k$取何值，该一次函数的图象始终过定点$(3, 6)$。
(3) 要使该函数图象平行于直线$y = -2x$，需要满足两个条件：
一是斜率相等，即$k - 2 = -2$；
二是截距不等，即$-3k + 12 \neq 0$。
解这两个方程/不等式，我们得到：
$k - 2 = -2 \Rightarrow k = 0$
$-3k + 12 \neq 0 \Rightarrow -3 × 0 + 12 \neq 0$（始终成立）
所以，当$k = 0$时，该函数图象平行于直线$y = -2x$。
【答案】：
(1) 当$k = 4$时，函数图象经过原点。
(2) 定点的坐标为$(3, 6)$。
(3) 当$k = 0$时，该函数图象平行于直线$y = -2x$。

1. 直线$y = 3x - 2沿y$轴向上平移4个单位后,所得直线对应的函数表达式是$y = 3x + 2$。

答案： 【解析】：
题目考查了一次函数图像的平移性质。
对于直线$y = kx + b$，若沿y轴向上平移m个单位，则新的直线方程为$y = kx + b + m$。
在本题中，原直线方程为$y = 3x - 2$，向上平移4个单位后，新的直线方程应为$y = 3x - 2 + 4$。
【答案】：
$y = 3x + 2$。

【变式题1】在平面直角坐标系中,把直线$y = 3x - 2$向下平移3个单位后,所得到的直线对应的函数表达式是$y = 3x - 5$。

答案： 【解析】：
本题考查了一次函数图象的平移性质。在平面直角坐标系中，直线平移时，其斜率k的值不变。对于本题，原直线的斜率k为3，当直线向下平移3个单位时，只需在原函数表达式中减去3即可得到新的函数表达式。
【答案】：
解：原直线方程为 $y = 3x - 2$。
根据平移性质，向下平移3个单位，即在原函数值上减去3，得到新的直线方程为：
$y = 3x - 2 - 3$
$y = 3x - 5$
故答案为：$y = 3x - 5$。

【变式题2】若直线$y = 3x + b$沿y轴平移2个单位得到直线$y = 3x - 2$,则$b = $$-4$或$0$。

答案： 解：直线沿y轴平移2个单位有两种情况：
1. 向上平移2个单位：$y = 3x + b + 2$，则$b + 2 = -2$，解得$b = -4$；
2. 向下平移2个单位：$y = 3x + b - 2$，则$b - 2 = -2$，解得$b = 0$。
综上，$b = -4$或$0$。

2. 在平面直角坐标系中,把直线$y = 2x - 1$向左平移4个单位后,所得直线对应的函数表达式是$y = 2x + 7$。

答案： 【解析】：
本题考查一次函数图象的平移。
对于一次函数$y=kx+b$，若图像向左平移$m$个单位，函数变为$y=k(x+m)+b$；
若图像向右平移$m$个单位，函数变为$y=k(x-m)+b$；
若图像向上平移$n$个单位，函数变为$y=kx+b+n$；
若图像向下平移$n$个单位，函数变为$y=kx+b-n$。
在本题中，原函数为$y = 2x - 1$，需要将其向左平移$4$个单位。
根据平移规律，新的函数表达式应为$y = 2(x + 4) - 1$。
进一步化简，得到$y = 2x + 8 - 1 = 2x + 7$。
【答案】：
$y = 2x + 7$

【变式题】把直线$y = 2x - 1$向右平移3个单位后,所得直线对应的函数表达式是$y = 2x - 7$。

答案： 解：根据一次函数图象平移规律“左加右减”，将直线$y = 2x - 1$向右平移3个单位，需将$x$替换为$x - 3$。
则平移后所得直线对应的函数表达式为：
$y = 2(x - 3) - 1$
$= 2x - 6 - 1$
$= 2x - 7$
答案：$y = 2x - 7$

3. 已知直线$y = (m + 1)x + m - 3平行于直线y = 3x + 6$,则$m$的值为2。

答案： 解：因为两直线平行，所以它们的斜率相等。
直线$y=(m + 1)x + m - 3$的斜率为$m + 1$，直线$y = 3x + 6$的斜率为$3$，
则$m + 1 = 3$，解得$m = 2$。
又因为两直线不能重合，所以$m - 3 \neq 6$，当$m = 2$时，$m - 3 = -1 \neq 6$，符合条件。
故$m$的值为$2$。

4. 若一次函数$y = kx + b的图象与直线y = -x - 1$平行,且过点$(8,2)$,则该一次函数的表达式为$y = -x + 10$。

答案： 【解析】：
题目要求确定一次函数的表达式，给定该函数图象与直线$y = -x - 1$平行，且过点$(8,2)$。
1. 由于一次函数$y = kx + b$的图象与直线$y = -x - 1$平行，根据平行直线的性质，两直线的斜率必须相等。因此，有$k = -1$。
2. 接下来，将点$(8,2)$代入$y = kx + b$中，即代入$y = -x + b$，得到$2 = -8 + b$。
3. 解这个方程，得到$b = 10$。
4. 综上，该一次函数的表达式为$y = -x + 10$。
【答案】：
$y = -x + 10$