《2025年点拨训练八年级数学上册沪科版安徽专版》

4. 中考趋势·探究建模 在$△ABC和△CDE$中,$CA = CB$,$CD = CE$,$∠ACB = ∠DCE = α$,AE 与 BD 相交于点 F。
(1)如图①,当$α = 90^{\circ}$时,求证：
①$△ACE ≌ △BCD$；②$AE ⊥ BD$。
(2)如图②,当$α = 60^{\circ}$时,$∠AFB = $60°。
(3)如图③,直接写出$∠AFD$的度数：∠AFD=180°-α(用含α的式子表示)。

答案：
(1)证明：①
∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE,即∠ACE=∠BCD.又
∵CA=CB,CE=CD,
∴△ACE≌△BCD(SAS).②设AE、BC交于点O,
∵△ACE≌△BCD,
∴∠CAF=∠CBD.
∵∠CAF+∠COA=90°,∠COA=∠FOB,
∴∠CAF+∠FOB=90°,
∴∠CBD+∠FOB=90°,
∴∠AFB=90°,
∴AE⊥BD.
(2)60°
(3)∠AFD=180°-α

5. 如图,在$△ABC$中,$∠BAC = 90^{\circ}$,$AB = AC$,点 D,E 是边 BC 上的点,$∠DAE = 45^{\circ}$,将$△ABD$绕点 A 逆时针旋转$90^{\circ}得到△ACF$,连接 EF。
(1)$∠ECF = $90$^{\circ}$；
(2)求证：$△ADE ≌ △AFE$。

答案：
(1)90
(2)证明：
∵△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF,
∴△ABD≌△ACF,
∴AD=AF,∠BAD=∠CAF.由旋转可知∠DAF=90°.
∵∠DAE=45°,
∴∠FAE=∠DAF-∠DAE=45°=∠DAE.在△ADE和△AFE中,
∵{AD=AF,∠DAE=∠FAE,AE=AE,
∴△ADE≌△AFE(SAS).

6. 如图,在$△ABC$中,$∠BAC = 120^{\circ}$,$AB = AC$,D,E 是边 BC 上的点,$∠DAE = 60^{\circ}$,将$△ABD$绕点 A 逆时针旋转$120^{\circ}得到△ACF$,连接 EF。求证：
(1)$∠ECF = 60^{\circ}$；
(2)$△ADE ≌ △AFE$。

(1)证明：
∵∠BAC=120°,AB=AC,
∴∠B=∠ACB=30°.由旋转的性质得,∠B=∠ACF=30°,
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=60°.
(2)由旋转的性质可知,∠BAD=∠CAF,AD=AF.
∵∠BAC=120°,∠DAE=60°,
∴∠BAD+∠EAC=60°,
∴∠CAF+∠EAC=60°,即∠EAF=60°.又
∵AE=AE,AD=AF,
∴△ADE≌△AFE.

答案：
(1)证明：
∵∠BAC=120°,AB=AC,
∴∠B=∠ACB=30°.由旋转的性质得,∠B=∠ACF=30°,
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=60°.
(2)由旋转的性质可知,∠BAD=∠CAF,AD=AF.
∵∠BAC=120°,∠DAE=60°,
∴∠BAD+∠EAC=60°,
∴∠CAF+∠EAC=60°,即∠EAF=60°.又
∵AE=AE,AD=AF,
∴△ADE≌△AFE.