《2025年点拨训练八年级数学上册沪科版安徽专版》

9. 创新题·新考法如图,把四盏相同的灯笼放置在平面直角坐标系中,坐标分别是$A(-3.5,b)$,$B(-2,b)$,$C(-1,b)$,$D(1,b)$,将其中一盏灯笼向右平移$m$个单位长度,使得$y$轴两侧的灯笼对称,则$m$的值可以是(D)

A.3
B.4
C.4.5
D.5.5

答案： D

10. [2025·重庆期中]如图,在平面直角坐标系中,对$\triangle ABC$进行循环往复的轴对称变换,若原来点$B的坐标是(-5,2)$,则经过第2025次变换后点$B$的对应点的坐标为(C)

A.$(5,2)$
B.$(5,-2)$
C.$(-5,-2)$
D.$(-5,2)$

答案： C

11. 如图,在平面直角坐标系中,$\triangle PQR的三个顶点分别为P(-1,3)$,$Q(-4,5)$,$R(-4,1)$,直线$m$上各点的横坐标都为1,直线$n$上各点的纵坐标都为-1。
(1)在图中分别作出$\triangle PQR关于直线m和直线n$对称的图形。

(2)填空：
①点$(x,y)关于直线m$对称的点的坐标为$(2-x,y)$；
②点$(x,y)关于直线n$对称的点的坐标为$(x,-2-y)$。

答案： 11.解：
(1)略.
(2)①$(2-x,y)$ ②$(x,-2-y)$

即时练透/与轴对称有关的最短路径问题/
思维可视化如图,$A$,$B$两个城市需要从临近的一条河流引入水源,通过数学方法,建立了平面直角坐标系,单位长度为$1km$,$x$轴为河流,城市$A的坐标为(0,2)$,城市$B的坐标为(4,1)$,现在要在$x$轴(河流)上建造一座供水站$P分别向城市A$、$B$供水,使得输水管道总长度$PA+PB$最小,如何求$P$的坐标？
思维过程

答案： 【解析】：本题主要考查平面直角坐标系中的轴对称性质以及最短路径问题。首先，找到点$A$关于$x$轴的对称点$A'$。由于$A$的坐标为$(0,2)$，所以$A'$的坐标为$(0, -2)$。接着，连接点$A'$和$B$，该连线与$x$轴的交点即为所求的$P$点。这是因为根据轴对称性质，$PA = PA'$，所以$PA + PB = PA' + PB$，而$A'B$是连接$A'$和$B$的最短路径。设直线$A'B$的解析式为$y = kx + b$。将点$A'(0, -2)$和点$B(4, 1)$代入得到方程组：$\begin{cases}-2 = b \\1 = 4k + b\end{cases}$解这个方程组，得到：从第一个方程，我们直接得出$b = -2$。将$b = -2$代入第二个方程，得到：$1 = 4k - 2$$4k = 3$$k = \frac{3}{4}$因此，直线$A'B$的解析式为$y = \frac{3}{4}x - 2$。为了找到这条直线与$x$轴的交点，我们令$y = 0$并解出$x$的值：$\frac{3}{4}x - 2 = 0$$\frac{3}{4}x = 2$$x = \frac{8}{3}$所以，交点$P$的坐标为$\left(\frac{8}{3}, 0\right)$。【答案】：$P\left(\frac{8}{3},0\right)$。

针对练习
如图,在平面直角坐标系中,点$A$,$B$,$C的坐标分别为A(1,-2)$,$B(3,2)$,$C(-3,2)$,点$D在y$轴上运动,当$\triangle ABD$的周长最小时,点$D$的坐标为$(0,-1)$。

答案： $(0,-1)$