《2025年点拨训练八年级数学上册沪科版安徽专版》

6. [2025·合肥寿春中学期中]如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$DE\perp AB于点D$,$BC= BD$. 如果$AC= 3cm$,那么$AE+DE$等于(C)

A.$2cm$
B.$4cm$
C.$3cm$
D.$5cm$

答案： C

7. 易错题 如图,$\angle C= 90^{\circ}$,$AC= 10$,$BC= 5$,$AX\perp AC$,点$P和点Q从点A$出发,分别在线段$AC和射线AX$上运动,且$AB= PQ$,当点$P运动到AP= $5或10时,$\triangle ABC与\triangle APQ$全等.

答案： 5或10

8. 如图,在四边形$ABCD$中,$\angle ABC= \angle ADC= 90^{\circ}$,$BE\perp AC于E$,$DF\perp AC于F$,$CF= AE$,$BC= DA$. 求证：$Rt\triangle ABE\cong Rt\triangle CDF$.

答案： 证明：在Rt△ADC与Rt△CBA中，
∵{DA=BC,AC=CA,
∴Rt△ADC≌Rt△CBA(HL)，
∴DC=BA.
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°.
在Rt△ABE与Rt△CDF中，
∵{AE=CF,AB=CD,
∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL).

9. 推理能力 在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$DE是过点A$的直线,$BD\perp DE于点D$,$CE\perp DE于点E$.
(1)若$B$、$C在DE$的同侧(如图①所示),且$AD= CE$. 求证：$AB\perp AC$；
(2)若$B$、$C在DE$的两侧(如图②所示),且$AD= CE$,其他条件不变,$AB与AC$仍垂直吗？若垂直,请给出证明；若不垂直,请说明理由.

答案： 【解析】：
本题主要考查全等三角形的判定和性质以及垂直的证明。
(1)首先，由于$BD \perp DE$和$CE \perp DE$，
所以$\angle ADB = \angle AEC = 90^\circ$。
又因为$AB = AC$且$AD = CE$，可以根据$HL$（直角边-斜边）全等条件证明$\triangle ABD \cong \triangle CAE$。
由于全等三角形的对应角相等，
所以$\angle DAB = \angle ECA$。
又因为$\angle EAC + \angle ECA = 90^\circ$（直角三角形的两个锐角互余），
所以$\angle EAC + \angle DAB = 90^\circ$。
从而得出$\angle BAC = 180^\circ - (\angle EAC + \angle DAB) = 90^\circ$，
即$AB \perp AC$。
(2)对于$B$、$C$在$DE$的两侧的情况，证明过程与
(1)类似。
同样可以证明$\triangle ABD \cong \triangle CAE$，
然后利用全等三角形的对应角相等和直角三角形的性质，证明出$AB \perp AC$。
【答案】：
(1)证明：
∵$BD \perp DE$，$CE \perp DE$，
∴$\angle ADB = \angle AEC = 90^\circ$，
在$Rt \triangle ABD$和$Rt \triangle CAE$中，
$\begin{cases}AB = AC, \\AD = CE.\end{cases}$
∴$Rt \triangle ABD \cong Rt \triangle CAE(HL)$，
∴$\angle DAB = \angle ECA$，
∵$\angle EAC + \angle ECA = 90^\circ$，
∴$\angle EAC + \angle DAB = 90^\circ$，
即$\angle BAC = 90^\circ$，
∴$AB \perp AC$。
(2)$AB \perp AC$。
证明：
∵$BD \perp DE$，$CE \perp DE$，
∴$\angle ADB = \angle AEC = 90^\circ$，
在$Rt \triangle ABD$和$Rt \triangle CAE$中，
$\begin{cases}AB = AC, \\AD = CE.\end{cases}$
∴$Rt \triangle ABD \cong Rt \triangle CAE(HL)$，
∴$\angle DAB = \angle ECA$，
∵$\angle CAE + \angle ECA = 90^\circ$，
∴$\angle CAE + \angle DAB = 90^\circ$，
即$\angle BAC = 90^\circ$，
∴$AB \perp AC$。