《2025年点拨训练八年级数学上册沪科版安徽专版》

6. (1) 问题发现: 两个内角平分线的夹角
如图①, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle ABC $ 和 $ \angle ACB $ 的平分线交于 P, 探究 $ \angle P $ 与 $ \angle A $ 之间的数量关系, 并说明理由.

(2) 类比探究: 一个内角平分线与一个外角平分线的夹角
如图②, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle ABC $ 的平分线和 $ \angle ACB $ 的外角 $ \angle ACE $ 的平分线交于 P, 探究 $ \angle P $ 与 $ \angle A $ 之间的数量关系, 并说明理由.
(3) 类比延伸: 两个外角平分线的夹角如图③, 在 $ \triangle ABC $ 中, 外角 $ \angle FBC $ 的平分线和外角 $ \angle BCE $ 的平分线交于 P, 请直接写出 $ \angle P $ 与 $ \angle A $ 之间的关系:$\angle P = 90° - \frac{\angle A}{2}$.

答案： 【解析】：
(1) 在$\triangle ABC$中，设$\angle ABC = x$，$\angle ACB = y$。
由于$\angle A + x + y = 180^\circ$，
根据角平分线的性质，$\angle PBC = \frac{x}{2}$，$\angle PCB = \frac{y}{2}$。
在$\triangle PBC$中，$\angle P + \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 180^\circ$。
将$\angle A + x + y = 180^\circ$代入上式，得到$\angle P = 180^\circ - \frac{x+y}{2} = 180^\circ - \frac{180^\circ - \angle A}{2} = 90^\circ + \frac{\angle A}{2}$。
(2) 在$\triangle ABC$中，设$\angle ABC = x$，外角$\angle ACE = 180^\circ - y$（其中$y$是$\angle ACB$）。
由于$\angle ABC$的平分线和$\angle ACE$的平分线交于$P$，
根据角平分线的性质，$\angle PBC = \frac{x}{2}$，$\angle PCE = \frac{180^\circ - y}{2}$。
在$\triangle PBC$中，利用外角等于不相邻两内角之和，有$\angle P = \angle PCE - \angle PBC = \frac{180^\circ - y}{2} - \frac{x}{2} = \frac{180^\circ - (x+y)}{2}$。
将$\angle A + x + y = 180^\circ$代入上式，得到$\angle P = \frac{\angle A}{2}$。
(3) 在$\triangle ABC$中，设外角$\angle FBC = 180^\circ - x$，$\angle BCE = 180^\circ - y$。
由于外角$\angle FBC$的平分线和外角$\angle BCE$的平分线交于$P$，
根据角平分线的性质，$\angle PBC = \frac{180^\circ - x}{2}$，$\angle PCB = \frac{180^\circ - y}{2}$。
在$\triangle PBC$中，$\angle P = 180^\circ - \left( \frac{180^\circ - x}{2} + \frac{180^\circ - y}{2} \right) = \frac{x+y}{2} - 90^\circ+180^\circ-90^\circ$。
将$\angle A + x + y = 180^\circ$的$x+y=180^\circ-\angle A$代入上式，得到$\angle P = 90^\circ - \frac{\angle A}{2}$。
【答案】：
(1) $\angle P = 90^\circ + \frac{\angle A}{2}$
(2) $\angle P = \frac{\angle A}{2}$
(3) $\angle P = 90^\circ - \frac{\angle A}{2}$

7. 如图, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle ABC $, $ \angle ACB $ 的平分线 BE, CD 相交于点 F, $ \angle A = 60 ^ { \circ } $, 则 $ \angle BFC = $$120^{\circ}$.

答案： $120^{\circ}$

8. 如图, $ \angle ACF $ 的平分线所在的直线与 $ \angle ABC $ 的平分线相交于点 D, 与 $ \angle FBG $ 的平分线相交于点 E, 若 $ \angle A = 50 ^ { \circ } $. 则 $ \angle D = $$25^{\circ}$, $ \angle E = $$65^{\circ}$.

答案： $25^{\circ};65^{\circ}$

9. 如图, $ \triangle ABC $ 的两条内角平分线 BO, CO 相交于点 O, 两条外角平分线 BP, CP 相交于点 P, 已知 $ \angle BOC = 120 ^ { \circ } $, 则 $ \angle P = $$60^{\circ}$.

答案： $60^{\circ}$

10. 如图, 已知 $ \triangle ABC $ 的内角 $ \angle A = \alpha $, 分别作内角 $ \angle ABC $ 与外角 $ \angle ACD $ 的平分线, 两条平分线交于点 $ A _ { 1 } $, 得 $ \angle A _ { 1 } $, 作 $ \angle A _ { 1 } B C $ 和 $ \angle A _ { 1 } C D $ 的平分线交于点 $ A _ { 2 } $, 得 $ \angle A _ { 2 } … … $ 以此类推得到 $ \angle A _ { 2025 } $, 则 $ \angle A _ { 2025 } = $$\frac{\alpha}{2^{2025}}$.

答案： $\frac{\alpha}{2^{2025}}$

11. 如图, BC 是 $ \angle ABN $ 的平分线, BC 的反向延长线与 $ \angle BAO $ 的平分线交于点 D. 如果 $ \angle MON = \alpha $, 其余条件不变, 随着点 A, B 的运动, 求 $ \angle D $ 的度数. (用含 $ \alpha $ 的式子表示)

答案： 解：设∠BAD=x，
∵AD 平分∠BAO，
∴∠BAO=2x.
∵∠AOB=α，
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=α+2x.
∵BC 平分∠ABN，
∴$\angle ABC=\frac{1}{2}\angle ABN=\frac{1}{2}\alpha +x$.
∵∠ABC=∠D+∠BAD，
∴$\angle D=\angle ABC-\angle BAD=\frac{1}{2}\alpha +x-x=\frac{1}{2}\alpha$.