《2025年点拨训练八年级数学上册沪科版安徽专版》

9.[2024.广州期末]下列长度的三条线段不能组成三角形的是 (C)
A.2.5,3,5
B.7,6,12
C.a-3,a,3(a＞3)
D.a,a+4,a+6(a＞2)

答案： 解：A. 2.5+3=5.5＞5，3+5=8＞2.5，2.5+5=7.5＞3，能组成三角形。
B. 7+6=13＞12，6+12=18＞7，7+12=19＞6，能组成三角形。
C. 因为a＞3，所以a-3＞0，a-3+3=a，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形。
D. 因为a＞2，所以a+a+4=2a+4＞a+6（2a+4 - (a+6)=a-2＞0），a+a+6=2a+6＞a+4，a+4+a+6=2a+10＞a，能组成三角形。
答案：C

10.20新月论期末如图,用AB,BC,CD,AD四条钢条固定成一个铁框,相邻两钢条的夹角均可调整,不计螺丝大小及重叠部分,若AB= 5,BC= 9,CD= 7,AD= 6,则所固定成的铁框中,两个顶点的距离最大值是(C)

A.14
B.16
C.13
D.11

答案： C

11.[2025年1月合肥期末]若α,b,c是△ABC的三边长,则化简|a十b-c|-|b-c-a|的结果是2b - 2c.

答案： 【解析】：
本题主要考查三角形中三边关系以及绝对值的化简。
在任意三角形ABC中，根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
所以，对于边长a，b，c，我们有：
$a + b ＞ c$
$b + c ＞ a$
$c + a ＞ b$
同时，也得到以下关系：
$|a + b - c| = a + b - c$ （因为 $a + b ＞ c$）
对于 $|b - c - a|$，因为 $b ＜ a + c$，所以 $b - c - a ＜ 0$，那么：
$|b - c - a| = -(b - c - a) = c + a - b$
将上述两个结果代入原式，得到：
$|a + b - c| - |b - c - a| = (a + b - c) - (c + a - b) = 2b - 2c$
【答案】：
$2b - 2c$

12.已知△ABC的三边长分别为a,b,c.
(1)若a,b,c满足$(a-b)^2+(b-c)^2= 0,$试判断
△ABC的形状;
(2)若△ABC的周长为12,a= 2,且△ABC是等
腰三角形,求b,c的值.

答案： 【解析】：
(1)首先分析第一个问题，题目给出了$(a-b)^2+(b-c)^2= 0$，由于平方和只有在每一项都为0的情况下才能为0（因为平方数总是非负的），所以可以推断出$a-b=0$和$b-c=0$，即$a=b$和$b=c$，从而得出$a=b=c$，这说明$\bigtriangleup ABC$是等边三角形。
(2)对于第二个问题，题目给出了$\bigtriangleup ABC$的周长为12，一边长为2，且为等腰三角形。需要分两种情况讨论：
当$a$为腰长时，由于等腰三角形的两腰相等，所以有$b=2$或$c=2$，但这会导致底边长度为$12-2-2=8$。由于$2+2＜8$，不满足三角形的三边关系（任意两边之和大于第三边），所以这种情况应舍去。
当$b$为腰长时，由于等腰三角形的两腰相等，得到$b=c$。根据周长公式，可以列出等式$2+b+c=12$，由于$b=c$，可以化简为$2+2b=12$，解得$b=5$，所以$c=5$。此时三边长为2，5，5，满足三角形的三边关系。
当$c$为腰长时，同理可以得到$c=b=5$，此时三边长为2，5，5，也满足三角形的三边关系。
综上所述，对于第二个问题，$b$和$c$的值都是5。
【答案】：
(1)$\bigtriangleup ABC$是等边三角形;
(2)$b=5,c=5$。

13.推理能刀如图①,P是△ABC内部的一点,
连接BP并延长交AC于点D.
(1)试探究AB+BC+CA与2BD的大小关系;
(2)试探究AB+AC与PB+PC的大小关系;
(3)如图②,D,E是△ABC内部两点,试探究
AB+AC与BD十DE十CE的大小关系.

答案： 【解析】：
本题可根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”来探究各线段之间的大小关系。
（1）探究$AB + BC + CA$与$2BD$的大小关系
在$\triangle ABD$中，根据三角形三边关系可得$AB + AD\gt BD$ ①；
在$\triangle BCD$中，同理可得$BC + CD\gt BD$ ②；
将①+②可得：$AB + AD + BC + CD\gt 2BD$。
因为$AD + CD = AC$，所以$AB + BC + CA\gt 2BD$。
（2）探究$AB + AC$与$PB + PC$的大小关系
延长$BP$交$AC$于点$D$。
在$\triangle ABD$中，$AB + AD\gt BD$，即$AB + AD\gt PB + PD$ ③；
在$\triangle PCD$中，$PD + CD\gt PC$ ④；
将③+④可得：$AB + AD + PD + CD\gt PB + PD + PC$。
因为$AD + CD = AC$，两边同时减去$PD$，所以$AB + AC\gt PB + PC$。
（3）探究$AB + AC$与$BD + DE + CE$的大小关系
分别延长$BD$、$CE$交于点$F$，连接$AF$。
由（2）可知：
在$\triangle ABF$中，$AB + AF\gt BD + DF$ ⑤；
在$\triangle ADF$中，$AD + DF\gt DE + EF$ ⑥；
在$\triangle AEF$中，$AE + EF\gt CE$ ⑦；
将⑤+⑥+⑦可得：$AB + AF + AD + DF + AE + EF\gt BD + DF + DE + EF + CE$。
因为$AD + AE = AC$，两边同时减去$DF + EF$，所以$AB + AC\gt BD + DE + CE$。
【答案】：
(1)$AB + BC + CA\gt 2BD$；
(2)$AB + AC\gt PB + PC$；
(3)$AB + AC\gt BD + DE + CE$。