《2025年点拨训练八年级数学上册沪科版安徽专版》

全等三角形的对应高相等,对应中线相等,对应角平分线相等,周长相等,面积相等.

答案： 【解析】：
本题考查全等三角形的性质。全等三角形是指两个三角形在完全重合时，三边及三角分别相等。根据全等三角形的定义和性质，我们可以知道：
1. 对应高相等：因为全等三角形可以完全重合，所以它们的高也必然相等。
2. 对应中线相等：中线是连接三角形任意两边中点的线段，由于三角形全等，对应的中线也必然相等。
3. 对应角平分线相等：角平分线是将一个角分为两个相等的角，并与对边相交，由于三角形全等，对应的角平分线也必然相等。
4. 周长相等：三角形的周长是其三边之和，由于三角形全等，三边分别相等，所以周长也必然相等。
5. 面积相等：由于三角形可以完全重合，它们的面积也必然相等。
【答案】：
全等三角形的对应高相等，对应中线相等，对应角平分线相等，周长相等，面积相等。
故答案为：相等；相等。

1. [2025·晋城期中]根据下列已知条件,不能画出唯一$\triangle ABC$的是(D)
A.$AB = 5$,$\angle B = 45^{\circ}$,$BC = 6$
B.$AB = 5$,$\angle B = 45^{\circ}$,$\angle A = 30^{\circ}$
C.$AB = 5$,$\angle B = 45^{\circ}$,$\angle C = 90^{\circ}$
D.$AB = 5$,$\angle B = 45^{\circ}$,$AC = 4$

答案： 【解析】：
本题主要考察全等三角形的性质和判定的综合运用，特别是关于三角形全等的判定条件。
A选项：给出了两边及它们之间的夹角，即$AB = 5$，$\angle B = 45^{\circ}$，$BC = 6$，这符合$SAS$（边角边）的全等三角形判定条件，所以能画出唯一的$\triangle ABC$。
B选项：给出了两边及它们之间的夹角的一个角，即$AB = 5$，$\angle B = 45^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，这实际上是$ASA$（角边角）的全等三角形判定条件，所以能画出唯一的$\triangle ABC$。
C选项：给出了两边及它们之间的夹角的一个直角，即$AB = 5$，$\angle B = 45^{\circ}$，$\angle C = 90^{\circ}$，由于三角形内角和为$180^{\circ}$，可以推出$\angle A = 45^{\circ}$，这也符合$ASA$（角边角）或$AAS$（角角边）的全等三角形判定条件，所以能画出唯一的$\triangle ABC$。
D选项：给出了两边及非它们之间的夹角，即$AB = 5$，$\angle B = 45^{\circ}$，$AC = 4$，这是$SSA$的情况，但$SSA$不是三角形全等的判定条件，所以不能画出唯一的$\triangle ABC$。
综上所述，只有D选项不能画出唯一的$\triangle ABC$。
【答案】：
D

2. 如图,$AC\perp AB$,$BD\perp CD$,请添加一个条件,使$\triangle ABC\cong\triangle DCB$.
(1)添加$AB = DC$,依据是$SAS$；
(2)添加$\angle ABC=\angle DCB$,依据是$AAS$；
(3)添加$\angle ACB=\angle DBC$,依据是$AAS$；
(4)添加$AC=BD$,依据是$HL$.

答案： 【解析】：本题考查全等三角形的判定定理，有以下几种情况：
$SAS$判定定理：有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
$ASA$判定定理：有两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
$AAS$判定定理：有两角及其一角的对边相等的两个三角形全等。
$HL$判定定理：在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等的两个三角形全等。
(1) 添加$AB = DC$。
由于$AC\perp AB$，$BD\perp CD$，
所以$\angle CAB=\angle BDC=90^\circ$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DCB$中，
$\begin{aligned}&\left\{\begin{array}{l}AB = DC,\\\angle CAB=\angle BDC,\\BC=CB.\end{array}\right.\end{aligned}$
根据$SAS$判定定理，$\triangle ABC\cong\triangle DCB$。
依据是$SAS$。
(2)添加$\angle ABC=\angle DCB$。
由于$AC\perp AB$，$BD\perp CD$，
所以$\angle CAB=\angle BDC=90^\circ$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DCB$中，
$\begin{aligned}&\left\{\begin{array}{l}\angle CAB=\angle BDC,\\\angle ABC=\angle DCB,\\BC=CB.\end{array}\right.\end{aligned}$
根据$AAS$判定定理，$\triangle ABC\cong\triangle DCB$。
依据是$AAS$。
(3)添加$\angle ACB=\angle DBC$。
由于$AC\perp AB$，$BD\perp CD$，
所以$\angle CAB=\angle BDC=90^\circ$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DCB$中，
$\begin{aligned}&\left\{\begin{array}{l}\angle CAB=\angle BDC,\\\angle ACB=\angle DBC,\\BC=CB.\end{array}\right.\end{aligned}$
根据$AAS$判定定理，$\triangle ABC\cong\triangle DCB$。
依据是$AAS$。
(4)添加$AC=BD$。
由于$AC\perp AB$，$BD\perp CD$，
所以$\angle CAB=\angle BDC=90^\circ$。
在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle DCB$中，
$\begin{aligned}&\left\{\begin{array}{l}BC=CB,\\AC=BD.\end{array}\right.\end{aligned}$
根据$HL$判定定理，$\triangle ABC\cong\triangle DCB$。
依据是$HL$。
【答案】：
(1) $AB = DC$；$SAS$
(2) $\angle ABC=\angle DCB$；$AAS$
(3) $\angle ACB=\angle DBC$；$AAS$
(4) $AC=BD$；$HL$

3. 如图是大桥斜拉索示意图,$AB = AC$,$AE = AF$,$BE = CF$. 求证：$\triangle ABF\cong\triangle ACE$.

答案： 证明：在△ABE和△ACF中，
∵AB=AC，AE=AF，BE=CF，
∴△ABE≌△ACF（SSS），
∴∠BAE=∠CAF，
∴∠BAE+∠EAF=∠CAF+∠EAF，即∠BAF=∠CAE，
在△ABF和△ACE中，
∵AB=AC，∠BAF=∠CAE，AF=AE，
∴△ABF≌△ACE（SAS）。

4. 如图,$\triangle ABD\cong\triangle CDB$,下面四个结论中,不正确的是(C)

A.$\triangle ABD和\triangle CDB$的面积相等
B.$\triangle ABD和\triangle CDB$的周长相等
C.$\angle ABD= \angle CBD$
D.$AD// BC$,且$AD = CB$

答案： 【解析】：根据全等三角形的性质，我们知道全等三角形的对应边相等，对应角相等，面积也相等。
A. 由于$\triangle ABD\cong\triangle CDB$，根据全等三角形的性质，它们的面积必然相等，所以A选项是正确的。
B. 同样地，由于两个三角形全等，它们的对应边相等，因此周长也相等，所以B选项是正确的。
C. 对于角度，由于$\triangle ABD\cong\triangle CDB$，我们知道$\angle ABD = \angle CDB$（对应角），而不是$\angle CBD$。因此，C选项中的$\angle ABD = \angle CBD$是不正确的。
D. 由于$\triangle ABD\cong\triangle CDB$，我们有$AD = CB$（对应边）。同时，由于两个三角形全等，它们的对应角相等，即$\angle ADB = \angle CBD$，根据内错角相等，两直线平行，我们可以得出$AD// BC$。所以D选项是正确的。
综上所述，选项C是不正确的。
【答案】：C

5. 创新题·新考法 已知两个三角形有一个角及夹这个角的一条边对应相等,若再增加以下某个条件,则

不

能

判定这两个三角形全等的是(B)
A.这条边上的高对应相等
B.这条边上的中线对应相等
C.这个角的平分线对应相等
D.夹这个角的另一条边对应相等

答案： B

6. [2025·芜湖模拟]在$\triangle ABC与\triangle A'B'C'$中,边$BC与边B'C'上的中线分别为AD与A'D'$. 若$AB = A'B'$,$BC = B'C'$,$AD = A'D'$. 求证：$\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'$.

答案： 【解析】：本题考查全等三角形的判定，可先通过中线性质得到新的条件，再利用“SSS”判定定理证明两个三角形全等。
已知$AD$是$BC$边上的中线，$A'D'$是$B'C'$边上的中线，根据中线的定义，中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段，所以可得$BD=\frac{1}{2}BC$，$B'D'=\frac{1}{2}B'C'$。
又因为已知$BC = B'C'$，那么$\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}B'C'$，即$BD = B'D'$。
在$\triangle ABD$和$\triangle A'B'D'$中，$AB = A'B'$，$BD = B'D'$，$AD = A'D'$，满足三边对应相等，根据全等三角形判定定理“SSS”（三边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABD\cong\triangle A'B'D'$。
由$\triangle ABD\cong\triangle A'B'D'$，根据全等三角形的性质（全等三角形的对应角相等），可得$\angle B = \angle B'$。
在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中，$AB = A'B'$，$\angle B = \angle B'$，$BC = B'C'$，满足两边及其夹角对应相等，根据全等三角形判定定理“SAS”（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），所以$\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'$。
【答案】：
证明：
∵$AD$，$A'D'$分别是$\triangle ABC$，$\triangle A'B'C'$的中线，
∴$BD=\frac{1}{2}BC$，$B'D'=\frac{1}{2}B'C'$。
∵$BC = B'C'$，
∴$BD = B'D'$。
在$\triangle ABD$和$\triangle A'B'D'$中，
$\left\{\begin{matrix}AB = A'B',\\BD = B'D',\\AD = A'D'.\end{matrix}\right.$
∴$\triangle ABD\cong\triangle A'B'D'(SSS)$。
∴$\angle B = \angle B'$。
在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中，
$\left\{\begin{matrix}AB = A'B',\\\angle B = \angle B',\\BC = B'C'.\end{matrix}\right.$
∴$\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'(SAS)$。