《2025年点拨训练八年级数学上册沪科版安徽专版》

综合与实践课上,老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动。
【问题提出】
如图①,在$\triangle ABC$中,$\angle B ＜ \angle C$,$AD平分\angle BAC$,$AE \perp BC于点E$。试探究$\angle EAD与\angle B$,$\angle C$的数量关系。

任务一 操作观察
(1)【观察猜想】小明尝试代入$\angle B$,$\angle C的值求\angle EAD$的值,得到下面几组对应值：

上表中$a = $____,猜想：$\angle EAD与\angle B$,$\angle C$的数量关系为____。
(2)【推理论证】证明(1)中猜想得到的$\angle EAD与\angle B$,$\angle C$的数量关系。

答案：
(1)30;∠EAD=$\frac{1}{2}$(∠C-∠B)
(2)略.

(3)如图②,在$\triangle ABC$中,$AD平分\angle BAC$,在线段$AD上任取点F$,作$FE \perp BC$,垂足为点$E$,当$\angle B = 40^{\circ}$,$\angle C = 70^{\circ}$时,$\angle DFE$的度数为15$^{\circ}$。
(4)如图③,在$\triangle ABC$中,$\angle B ＞ \angle C$,$AD平分\angle BAC$,在$AD的延长线上任取点F$,作$FE \perp BC于点E$,设$\angle B = x$,$\angle C = y$,则$\angle DFE$的大小为$\frac{x-y}{2}$(用含$x$,$y$的式子表示)。
(5)如图④,在(3)的条件下,在$DA的延长线上任取点F$,其他条件不变,判断$\angle DFE$的度数是否会发生变化,并说明理由。

答案：
(3)15
(4)$\frac{x-y}{2}$
(5)解：不变.理由如下：
∵∠B=40°,∠C=70°,
∴∠BAC=180°-40°-70°=70°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=35°.
∵∠ADC是△ABD的一个外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=40°+35°=75°.
∵FE⊥BC,
∴∠DFE=90°-∠ADC=15°.
∴∠DFE的度数不变.

(6)如图⑤,图⑥,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC = \alpha$,$\angle ACB = \beta$,$AD是\angle BAC$的平分线,在直线$AD上任取点F$,过点$F作EF \perp AD$,与直线$BC交于点E$,请直接写出$\angle DEF与\alpha$,$\beta$之间的数量关系：∠DEF=$\frac{|\alpha-\beta|}{2}$。

答案：
(6)∠DEF=$\frac{|\alpha-\beta|}{2}$