《2025年点拨训练八年级数学上册沪科版安徽专版》

2星题 中档练
8. 如图,△ABC中,∠BAC＞∠B,∠C= 70°,将△ABC折叠,使得点B与点A重合,折痕ED交AB于D,交BC于E,若AE= AC,则∠B的度数为35°.

答案： 解：设∠B=x。
由折叠性质得AE=BE，故∠BAE=∠B=x。
∵AE=AC，∠C=70°，
∴∠AEC=∠C=70°。
∵∠AEC是△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+∠BAE，即70°=x+x，解得x=35°。
∠B=35°。

9. [2025·山西实验中学月考]如图,△ABC是等边三角形,BD⊥AB,BD= AB,则∠ADC的度数为75°.

答案： 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°。
∵BD⊥AB，
∴∠ABD=90°。
∵BD=AB，
∴BD=BC，∠DBC=∠ABD+∠ABC=90°+60°=150°。
在△DBC中，BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=(180°-∠DBC)/2=(180°-150°)/2=15°。
∵∠ACB=60°，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=60°-15°=45°。
在△ABC中，AB=AC，BD=AB，
∴BD=AC。
又
∵∠ABD=90°，∠BAC=60°，
可证△ABD≌△CAD（SAS），
∴∠ADC=∠BAD。
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，
但由前面计算∠ACD=45°，在△ADC中，∠DAC=∠BAC=60°，
∴∠ADC=180°-∠DAC-∠ACD=180°-60°-45°=75°。
答案：75°

10. [教材改编题]如图,在△ABC中,D,E是边BC上的两点,且BD= AD,CE= AE.
(1)若∠BAC= 100°,则∠DAE= 20°；
(2)若△ADE是等边三角形,则∠BAC= 120°.

答案： 【解析】：
本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的运用。
(1) 由于$BD = AD$，根据等腰三角形的性质，底角相等，所以$\angle B = \angle BAD$。
同理，因为$CE = AE$，所以$\angle C = \angle CAE$。
又因为$\angle BAC = 100^\circ$，根据三角形内角和为$180^\circ$，有$\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle BAC = 80^\circ$。
所以，$\angle BAD + \angle CAE = \angle B + \angle C = 80^\circ$。
因此，$\angle DAE = \angle BAC - (\angle BAD + \angle CAE) = 100^\circ - 80^\circ = 20^\circ$。
(2) 由于$\bigtriangleup ADE$是等边三角形，根据等边三角形的性质，每个内角都是$60^\circ$，所以$\angle DAE = 60^\circ$。
又因为$BD = AD$和$CE = AE$，所以$\angle B = \angle BAD$，$\angle C = \angle CAE$。
由于$\angle BAD + \angle CAE + \angle DAE = \angle BAC$，且$\angle DAE = 60^\circ$，所以$\angle BAC = \angle BAD + \angle CAE + 60^\circ$。
又因为$\angle BAD + \angle CAE = \angle B + \angle C$（等腰三角形的性质），且$\angle B + \angle C + \angle BAC = 180^\circ$（三角形内角和定理），所以$\angle BAC = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (\angle BAD + \angle CAE)$。
将$\angle BAC = \angle BAD + \angle CAE + 60^\circ$代入上式，得$\angle BAD + \angle CAE + 60^\circ = 180^\circ - (\angle BAD + \angle CAE)$，解得$\angle BAD + \angle CAE = 60^\circ$。
所以，$\angle BAC = \angle BAD + \angle CAE + 60^\circ = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$。
【答案】：
(1) $20^\circ$；
(2) $120^\circ$。

11. [2025年1月常州期末]如图,B是射线AD上一点(不与端点A重合),OP垂直平分线段AB,C是射线OP上一点(不与端点O重合),连接AC,BC,∠CBD的平分线与AC的延长线相交于点E.
(1)若∠A= 26°,求∠CBE的大小；
(2)若EC= EB,求∠A的大小.

答案： 【解析】：本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及角平分线的性质。
（1）因为$OP$垂直平分线段$AB$，根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，所以$CA = CB$。
根据等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，可得$\angle A=\angle ABC = 26^{\circ}$。
因为$\angle CBD$是平角$\angle ABD$的一部分，$\angle ABD = 180^{\circ}$，所以$\angle CBD=180^{\circ}-\angle ABC = 180^{\circ}- 26^{\circ}=154^{\circ}$。
又因为$BE$平分$\angle CBD$，根据角平分线的性质：角平分线将一个角分成两个相等的角，所以$\angle CBE=\frac{1}{2}\angle CBD=\frac{1}{2}×154^{\circ}=77^{\circ}$。
（2）由（1）已证$CA = CB$，所以$\angle A=\angle ABC$。
因为$BE = CE$，根据等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，所以$\angle ECB=\angle EBC$。
设$\angle A = x$，则$\angle ABC = x$，$\angle CBD = 180^{\circ}-x$。
因为$BE$平分$\angle CBD$，所以$\angle CBE=\frac{1}{2}(180^{\circ}-x)$。
又因为$\angle ECB=\angle A+\angle ABC = 2x$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），且$\angle ECB=\angle EBC$，所以$2x=\frac{1}{2}(180^{\circ}-x)$。
接下来解方程：
$2x=\frac{1}{2}(180^{\circ}-x)$
$4x=180^{\circ}-x$
$4x+x=180^{\circ}$
$5x=180^{\circ}$
$x = 36^{\circ}$
即$\angle A=36^{\circ}$。
【答案】：
(1)$\angle CBE = 77^{\circ}$；
(2)$\angle A = 36^{\circ}$。

即时练透/等腰三角形边角的性质/
【思路点拨】(1)等腰三角形中有两边相等,计算时注意满足三角形的三边关系；
(2)等腰三角形中有两个角相等,计算时注意满足三角形内角和定理.
1. 已知等腰三角形ABC的一边等于5,另一边等于6,则这个三角形的周长为16或17.
【变式题】若等腰三角形其中两边长a,b满足$(a-2)^2+$|b-4|= 0,则此三角形的周长为10.

答案： 【解析】：
题目主要考察等腰三角形的性质以及三角形的三边关系。
对于第一问，等腰三角形ABC的一边为5，另一边为6，需要分两种情况考虑：
若5为腰，6为底，则需要验证$5+5＞6$（满足三角形的三边关系），计算周长为$5+5+6=16$。
若6为腰，5为底，则需要验证$6+6＞5$和$6+5＞6$（都满足三角形的三边关系），计算周长为$6+6+5=17$。
对于变式题，需要先求出a和b的值，再判断是否能构成三角形，并计算周长。
由$(a-2)^2+|b-4|=0$，可得$a=2$，$b=4$。
若2为腰，4为底，由于$2+2=4$，不满足三角形的三边关系（任意两边之和大于第三边），故舍去。
若4为腰，2为底，满足$4+4＞2$和$4+2＞4$，计算周长为$4+4+2=10$。
【答案】：
1. 16或17
【变式题】10

2. 若等腰三角形的一个角的度数是50°,则它的顶角的度数是50°或80°.

答案： 【解析】：
本题主要考察等腰三角形的性质。等腰三角形有两个相等的角，这两个角都是底角，而另外一个角是顶角。
题目给出等腰三角形的一个角的度数是$50^\circ$，这个角可能是底角，也可能是顶角。
1. 如果$50^\circ$是底角，由于等腰三角形的两个底角相等，所以另外一个底角也是$50^\circ$。
根据三角形内角和为$180^\circ$，可以计算出顶角的度数：
$\text{顶角} = 180^\circ - 50^\circ - 50^\circ = 80^\circ$
2. 如果$50^\circ$是顶角，则顶角就是$50^\circ$，无需进一步计算。
【答案】：
$50^\circ$或$80^\circ$

3. 等腰三角形ABC中,CD是腰AB上的高线,若∠A= 50°,则∠DCB= 25°或10°.
【变式题1】[分类讨论思想]若等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30°,则这个等腰三角形顶角的度数为60°或120°.
【变式题2】等腰三角形ABC中,腰AB的垂直平分线交AC于点D,若∠A= 40°,则∠DBC的度数为60°或30°.

答案： 3. 25°或10°；【变式题1】60°或120°；【变式题2】60°或30°。