《2025年点拨训练八年级数学上册沪科版安徽专版》

4.如图,点$P为定角\angle AOB$的平分线上的一个定点,$\angle MPN的两边分别与OA$,$OB相交于M$,$N$两点,且$\angle MPN与\angle AOB$互补,在$\angle MPN绕点P$旋转的过程中,求证:$PM = PN$.

答案：
4.证明:作PE⊥OA于E,PF⊥OB于F,如图.
∵∠PEO=∠PFO=90°,
∴∠EPF+∠AOB=180°.
∵∠MPN+∠AOB=180°,
∴∠EPF=∠MPN,
∴∠EPM=∠FPN.
∵OP平分∠AOB,PE⊥OA于E,PF⊥OB于F，
∴PE=PF.
在△PEM和△PFN中，
∵∠MPE=∠NPF，PE=PF，∠PEM=∠PFN，
∴△PEM≌△PFN(ASA),
∴PM=PN.

5.如图,在$\triangle ABC$中,$AD平分\angle BAC$,$\angle C = 2\angle B$. 求证:$AC + CD = AB$.

答案： 证明：在AB上截取AE=AC，连接DE。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD。
在△AED和△ACD中，
∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，
∴△AED≌△ACD（SAS）。
∴ED=CD，∠AED=∠C。
∵∠AED=∠B+∠EDB，∠C=2∠B，
∴∠B+∠EDB=2∠B。
∴∠EDB=∠B。
∴EB=ED。
∵EB=ED，ED=CD，
∴EB=CD。
∵AB=AE+EB，AE=AC，EB=CD，
∴AB=AC+CD。

6.如图,$AB// CD$,$BE平分\angle ABC$,$CE平分\angle BCD$,点$E在AD$上,求证:$BC = AB + CD$.

答案： 6.证明:在BC上取点F，使BF=AB,连接EF.
∵BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,
∴∠ABE=∠FBE,∠BCE=∠DCE.
∵AB//CD,
∴∠A+∠D=180°.
在△ABE和△FBE中，
∵AB=FB，∠ABE=∠FBE，BE=BE，
∴△ABE≌△FBE(SAS),
∴∠A=∠BFE,
∴∠BFE+∠D=180°.
又
∵∠BFE+∠EFC=180°,
∴∠EFC=∠D.
在△EFC和△EDC中，
∵∠EFC=∠D，∠BCE=∠DCE，CE=CE，
∴△EFC≌△EDC(AAS),
∴CF=CD.
∵BC=BF+CF,
∴BC=AB+CD.