《2025年点拨训练八年级数学上册沪科版安徽专版》

1. 如图,点 P 在线段 AB 上,$∠1 = ∠2 = ∠3$,且$AP = BD$,求证：$△APC ≌ △BDP$。

答案： 证明：
∵∠1=∠2=∠3，
∴∠APC=180°-∠2，∠BDP=180°-∠3，
又
∵∠2=∠3，
∴∠APC=∠BDP．
∵∠1=∠2，∠A+∠1+∠C=180°，∠B+∠2+∠D=180°（三角形内角和180°），
∴∠A=∠B．
在△APC和△BDP中，
∠A=∠B，
AP=BD，
∠APC=∠BDP，
∴△APC≌△BDP（ASA）．

2. 如图,点 P 在线段 AB 的延长线上,$∠1 = ∠2 = ∠3$,且$CP = PD$,求证：$△APC ≌ △BDP$。

答案： 证明：
∵∠1=∠2，∠2+∠PBD=180°，∠1+∠PAC=180°，
∴∠PAC=∠PBD。
∵∠1=∠3，∠1+∠C+∠APC=180°，∠3+∠D+∠BPD=180°，
∴∠C=∠D。
在△APC和△BDP中，
∠PAC=∠PBD，
∠C=∠D，
CP=PD，
∴△APC≌△BDP（AAS）。

3. 在$△ABC$中,$∠ACB = 90^{\circ}$,$AC = BC$,直线 MN 经过点 C,且$AD ⊥ MN$于点 D,$BE ⊥ MN$于点 E。

(1)【向特殊化生长】①当直线 MN 绕点 C 旋转到图①的位置时,求证：$DE = AD + BE$；
②当直线 MN 绕点 C 旋转到图②的位置时,直接写出线段 DE,AD,BE 的数量关系：DE=AD-BE。
(2)【向一般化生长】如图③,现将条件改为：在$△ABC$中,$AB = AC$,D,A,E 三点都在直线 m 上,且有$∠BDA = ∠AEC = ∠BAC = α$,其中$90^{\circ} ＜ α ＜ 180^{\circ}$,请直接写出线段 DE,BD,CE 存在的数量关系：DE=BD+CE。

答案：
(1)①证明：
∵AD⊥MN,∠ADC=90°,
∴∠ACD+∠DAC=90°.
∵∠ACB=90°,∠ACD+∠BCE=90°,
∴∠DAC=∠BCE.在△ADC与△CEB中,
∵{∠ADC=∠CEB=90°,∠DAC=∠ECB,AC=CB,
∴△ADC≌△CEB(AAS).
∴AD=CE,BE=CD.
∵DE=CE+CD,
∴DE=AD+BE.②DE=AD-BE
(2)DE=BD+CE