《2025年点拨训练八年级数学上册沪科版安徽专版》

8. [2024·淄博月考]如图,已知$△ABC的面积为10cm^{2}$,AD平分$∠BAC且AD⊥BD$于点D,则$△ADC$的面积为$5\ cm^2$.

答案： $5\ \text{cm}^2$

9. 分类讨论思想 [2025·临汾期中]如图,$AB// CE,AB= 10cm$,点D是BC的中点,点P从点A出发,沿$A→B→A$的方向以2 cm/s的速度运动,点Q从点C出发,沿射线CE以1 cm/s的速度运动,当点P到达点A时,P,Q两点同时停止运动,当线段PQ经过点D时,点Q的运动时间为$\frac {10}{3}\ s$或10 s.

答案： $\frac {10}{3}\ \text{s}$或10 s

10. [2025年1月合肥期末改编]如图,在$△ABC$中,$AB= AC$,点D,E分别是边AC,BC上一点,连接AE,BD交于点G. 点F是AE上一点,连接CF,若$∠BAC= ∠BGE= ∠EFC$,求证：$AG= CF$.

答案： 证明：
∵∠BAC=∠BGE，∠AGB=∠BGE（对顶角相等），
∴∠BAC=∠AGB。
∵∠ABG+∠AGB+∠BAG=180°，∠ACE+∠BAC+∠AEC=180°，
又∠BAC=∠AGB，∠BAG=∠BAC-∠GAC，∠AEC=∠BGE+∠GBE（三角形外角性质），
且∠BGE=∠BAC，
∴∠AEC=∠BAC+∠GBE。
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角），即∠ABG+∠GBE=∠ACE。
设∠BAC=∠AGB=∠BGE=∠EFC=α，∠ABG=β，则∠ACE=β+∠GBE，∠AEC=α+∠GBE。
在△AGB中，β+α+∠BAG=180°，
∴∠BAG=180°-α-β。
在△AEC中，∠ACE+α+∠AEC=180°，即（β+∠GBE）+α+（α+∠GBE）=180°，化简得β+2∠GBE+2α=180°，
∴∠GBE=（180°-β-2α）/2。
∵∠EFC=α，∠EFC+∠FEC+∠FCE=180°，∠FEC=∠AEC=α+∠GBE，
∴α+（α+∠GBE）+∠FCE=180°，
∴∠FCE=180°-2α-∠GBE=180°-2α-（180°-β-2α）/2=（2β）/2=β，即∠FCE=β=∠ABG。
∵∠AGB=∠EFC=α，AB=AC，
∴△ABG≌△FCE（AAS），
∴AG=CF。

11. 创新题·探究题 如图,在$△ABC$中,$AB= AC,∠BAC= 90^{\circ }$,D是AB上的一动点(不与点A,B重合),$BE⊥CD$交CD的延长线于点E,交CA的延长线于点F.
(1)当点D在AB上时,求证：
①$DA= FA$；②$AB= FA+BD$.
(2)当点D在AB的延长线上时,请你探索AB,FA,BD这三条线段之间的数量关系,画出图形并证明你的结论.

答案：
(1)证明:①
∵BE⊥直线CD,
∴∠FEC=90°,
∴∠F+∠DCA=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠FAB=90°=∠DAC.
∴∠F+∠FBA=90°,
∴∠FBA=∠DCA.在△FAB和△DAC中,$\left\{\begin{array}{l} ∠FAB=∠DAC,\\ AB=AC,\\ ∠FBA=∠DCA,\end{array}\right. $$\therefore \triangle FAB\cong \triangle DAC(ASA)$,$\therefore DA=FA$.②由①知$FA=DA$,$\therefore AB=AD+BD=FA+BD$.
(2)解:$AB=FA-BD$.所画图形如图所示.证明:
∵BE⊥直线CD,$\therefore ∠FED=90^{\circ }$,$\therefore ∠F+∠DCA=90^{\circ }$.$\because ∠BAC=90^{\circ }$,$\therefore ∠FAB=90^{\circ }=∠DAC$.$\therefore ∠F+∠FBA=90^{\circ }$,$\therefore ∠FBA=∠DCA$.在△FAB和△DAC中,$\left\{\begin{array}{l} ∠FAB=∠DAC,\\ AB=AC,\\ ∠FBA=∠DCA,\end{array}\right. $$\therefore \triangle FAB\cong \triangle DAC(ASA)$,$\therefore FA=DA$,$\therefore AB=AD-BD=FA-BD$.