《2025年点拨训练八年级数学上册沪科版安徽专版》

9.[2024·山西中考]一只杯子静止在斜面上,其受力分析如图所示,重力G的方向竖直向下,支持力$F_{1}$的方向与斜面垂直,摩擦力$F_{2}$的方向与斜面平行.若斜面的坡角$α=25^{\circ }$,则摩擦力$F_{2}$与重力G方向的夹角β的度数为(C)

A.$155^{\circ }$
B.$125^{\circ }$
C.$115^{\circ }$
D.$65^{\circ }$

答案： 解：
过重力G的作用点作竖直向下的直线，过摩擦力F₂的作用点作沿斜面向上的直线（与斜面平行）。
因为斜面坡角α=25°，重力方向竖直向下，支持力F₁垂直于斜面，所以重力G与支持力F₁的夹角为α=25°（直角三角形两锐角互余）。
又因为摩擦力F₂平行于斜面，支持力F₁垂直于斜面，所以F₁与F₂的夹角为90°。
因此，摩擦力F₂与重力G方向的夹角β=90°+25°=115°。
答案：C

10.[2025年1月淮北期末]在$△ABC$中,$∠A= 50^{\circ },∠B= 20^{\circ }$,点D在边AB上,连接CD,若$△ACD$为直角三角形,则$∠BCD$的度数为$70°$或$20°$.

答案： 【解析】：
本题主要考查三角形内角和定理的推论，即三角形内角和为$180^\circ$。
首先，我们已知在$\bigtriangleup ABC$中，$\angle A = 50^\circ$，$\angle B = 20^\circ$。
根据三角形内角和定理，我们可以求出$\angle ACB$：
$\angle ACB = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 50^\circ - 20^\circ = 110^\circ$，
接下来，我们考虑$\bigtriangleup ACD$为直角三角形的情况。
当$\angle ADC = 90^\circ$时：
我们可以利用三角形内角和定理求出$\angle ACD$：
$\angle ACD = 180^\circ - \angle A - \angle ADC = 180^\circ - 50^\circ - 90^\circ = 40^\circ$，
然后，我们可以求出$\angle BCD$：
$\angle BCD = \angle ACB - \angle ACD = 110^\circ - 40^\circ = 70^\circ$，
当$\angle ADC$不是直角，而是$\angle ADC$所对其他内角的角为直角时，即$\angle CAD = 90^\circ$或$\angle ACD = 90^\circ$时，
由于$\angle A = 50^\circ$，显然$\angle CAD$不可能为$90^\circ$，
当$\angle ACD = 90^\circ$时，我们可以直接求出$\angle BCD$：
$\angle BCD = \angle ACB - \angle ACD = 110^\circ - 90^\circ = 20^\circ$，
综上所述，本题答案为：$70^\circ$或$20^\circ$。
【答案】：
$70^\circ$或$20^\circ$。

11.思维可视化如图,在$△ABC$中,$∠A= 20^{\circ }$,沿BE对折此三角形,又沿$BA'$再一次对折,使点C落在BE上的点$C'$处,此时$∠C'DB= 74^{\circ }$,如何求原三角形中$∠C$的度数?

思维过程

答案： 解：设$∠C = x$，$∠1 = y$。由折叠性质得：$∠1 = ∠2 = y$，$∠2 = ∠3 = y$，$∠CDB = 74^{\circ}$。在$\triangle ABD$中，$∠ADB = 180^{\circ}-∠CDB = 180^{\circ}-74^{\circ}=106^{\circ}$，根据三角形内角和定理有：$∠A + ∠1 + ∠2 + ∠ADB = 180^{\circ}$，即$20^{\circ}+y + y + 106^{\circ}=180^{\circ}$，解得$2y = 54^{\circ}$，$y = 27^{\circ}$。在$\triangle BCD$中，根据三角形内角和定理有：$∠CDB + ∠C + ∠3 = 180^{\circ}$，即$74^{\circ}+x + y = 180^{\circ}$，将$y = 27^{\circ}$代入得$74^{\circ}+x + 27^{\circ}=180^{\circ}$，解得$x = 79^{\circ}$。$x = 79^{\circ}$→$∠C$的度数为$79^{\circ}$。$79^{\circ}$；$79^{\circ}$

12.如图,在$△ABC$中,AE平分$∠BAC,∠B= 26^{\circ },∠C= 64^{\circ }$.
(1)求$∠CAE$的度数;
(2)若$AD⊥BC$于点D,$∠ADF= 71^{\circ }$,试说明:$△ADF$是直角三角形.

答案： 解：
(1)$∠CAE=45^{\circ }.$
(2)$\because AD⊥BC,\therefore △ACD$为直角三角形. $\because ∠C=64^{\circ },\therefore ∠DAC=90^{\circ }-∠C=26^{\circ }.$ $\because ∠CAE=45^{\circ },\therefore ∠DAF=∠CAE-∠DAC=19^{\circ }.$ $\because ∠ADF=71^{\circ },\therefore ∠ADF+∠DAF=90^{\circ },$ $\therefore ∠AFD=90^{\circ },\therefore △ADF$是直角三角形. 

13.推理能力规定:一条直线将三角形分割为两个图形,若其中一个新三角形与原三角形有两个角分别相等,则称这条直线为原三角形的恰巧线.例如:如图①,在$△ABC$中,直线DE将$△ABC$分割为两个图形,若新三角形ADE与原三角形ABC有$∠A= ∠A,∠ADE= ∠B$,则称直线DE为$△ABC$的恰巧线.
(1)在$△ABC$中,$∠A= 50^{\circ },∠B= 70^{\circ }$,点D,E分别在AB,AC边上(不与端点重合),若直线DE是$△ABC$的恰巧线,则$∠AED$的度数为$60^{\circ }$或$70^{\circ }$.
(2)如图②,在$△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },CD⊥AB$,垂足为D,直线BE是$△ABC$的恰巧线,分别交AC于点E,交CD于点F,连接DE,且$∠A= ∠ADE$.求证:直线EF是$△CDE$的恰巧线.

证明：∵直线 BE 是$△ABC$的恰巧线， $\therefore ∠CBE=∠A,\therefore ∠CEF=90^{\circ }-∠CBE=90^{\circ }-∠A.$ $\because ∠A=∠ADE,$ $\therefore ∠CEF=90^{\circ }-∠ADE=∠CDE.$ 而$∠ECF=∠DCE$,∴直线 EF 是$△CDE$的恰巧线.

答案： 13.
(1)$60^{\circ }$或$70^{\circ }$
(2)证明：
∵直线 BE 是$△ABC$的恰巧线， $\therefore ∠CBE=∠A,\therefore ∠CEF=90^{\circ }-∠CBE=90^{\circ }-∠A.$ $\because ∠A=∠ADE,$ $\therefore ∠CEF=90^{\circ }-∠ADE=∠CDE.$ 而$∠ECF=∠DCE$,
∴直线 EF 是$△CDE$的恰巧线.