《2025年点拨训练八年级数学上册沪科版安徽专版》

[问题情境]数学课上,同学们探索三角形中角之间的关系.如图①,在$\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,AD 平分$∠BAC$,P 是线段 DB 上的一点,过点 P 作 AB 的垂线,垂足为 E.
[特例分析]
(1)若$∠BAC= 50^{\circ }$,求$∠ADC与∠DPE$的度数;
[类比探究]
(2)善思小组在(1)的基础上,改变$∠B$的大小,经过探究,他们发现$∠ADC与∠DPE$之间存在特定的等量关系.请你猜想$∠ADC与∠DPE$之间的数量关系,并证明;
[拓展探究]
(3)如图②,敏学小组画出了点 P、E 分别在线段 DB、AB 延长线上时的情形,其余条件不变,画出$∠DPE$的平分线,交 AD 的延长线于点 F.请在图②中补全图形,写出$∠AFP$的度数,并说明理由.

答案：
2. 解：
(1)
∵∠BAC=50°，∠C=90°，
∴∠B=90°-∠BAC=40°．
∵PE⊥AB，
∴∠PEB=90°．
∴∠DPE=∠PEB+∠B=130°．
∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=25°．
∴∠ADC=∠BAD+∠B=65°．
(2)∠DPE=2∠ADC．证明如下： 由
(1)可知，∠DPE=90°+∠B，∠ADC=∠B+$\frac{1}{2}$∠BAC=∠B+$\frac{1}{2}$(90°-∠B)=45°+$\frac{1}{2}$∠B．
∴∠DPE=2∠ADC．
 
(3)所作图形如图所示，设 PF 交 AE 于点 J，
∵PE⊥AE，∠C=90°，
∴∠C=∠E=90°．
∵∠ABC=∠PBE，
∴∠CAB=∠BPE．
∵AD，PF 分别平分∠CAB，∠BPE，
∴∠FAE=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠EPF=$\frac{1}{2}$∠BPE．
∴∠FAJ=∠EPJ．
∵∠AJF=∠PJE，
∴∠AFP=∠E=90°．